Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Gauss, Gauss-Jordan, Cramer
Enviado por vane-1701 • 22 de Febrero de 2022 • Apuntes • 1.299 Palabras (6 Páginas) • 148 Visitas
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[pic 2] [pic 3]
Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Gauss, Gauss-Jordan, Cramer
MCE Angélica Holguín López | Algerba Lineal | UACH
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
MÉTODO DE GAUSS
Consiste en escribir el sistema en una matriz aumentada y hacer operaciones con renglones hasta quedar una matriz triangular inferior.
Reducir la matriz de coeficientes a la forma escalonada (matriz triangular inferior con la diagonal principal en unos), despejar la última incógnita y luego usar sustitución hacia atrás para despejar las otras incógnitas.
EL sistema a resolver, no necesariamente debe de ser cuadrado.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. [pic 4].
- Escribimos el sistema en forma de matriz AX = B [pic 5]
- Escribir la matriz aumentada [pic 6]
- Hacer operaciones de renglón para hacer ceros debajo de la diagonal principal.
[pic 7]
- El resultado se escribe en ecuaciones y se empieza a despejar para sacar los valores
[pic 8]
Si z = 10, entonces de la segunda ecuación obtenemos [pic 9]. Si se conoce y, entonces los dos
resultados se sustituyen en la primera para obtener [pic 10]
- La solución al sistema es x = 7, y = -18 y z = 10. Para comprobar tienen que sustituir en el sistema.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. [pic 11]
[pic 12]
En este ejercicio el tercer renglón nos quedó un cero en la tercer columna (representa a las z), esto nos hace que nos detengamos porque el cero no hay forma de convertirlo en uno y de aquí queda el siguiente sistema a resolver [pic 13].
De esta reducción se puede obtener el valor de y , luego el de z y por último el de x. [pic 14]
Obtención de z 🡪 [pic 15]
Por ultimo x 🡪 [pic 16]
La solución al sistema es x = 4, y = 4 y z = 2.
MÉTODO DE GAUSS JORDAN
Este método utiliza las mismas técnicas de eliminación Gaussiana, pero con el objetivo de finalizar con una matriz diagonal o escalonada reducida.
EL sistema a resolver, no necesariamente debe de ser cuadrado.
Resolver el sistema [pic 17]
Hacer operaciones con renglones a reducir la matriz de la izquierda a una matriz identidad.
[pic 18]
[pic 19]
Al lado izquierdo queda la matriz identidad y eso hace que el sistema se escriba de la forma [pic 20], esto es la solución.
Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el método simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa.
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