Solución de una ecuación diferencial
Enviado por Federico Montoya • 26 de Febrero de 2016 • Tesis • 923 Palabras (4 Páginas) • 122 Visitas
Solución de una ecuación diferencial
Definición
Decimos que [pic 1] es una solución de la ecuación diferencial, en el intervalo [pic 2] si
[pic 3]
Para toda[pic 4]. Es decir, una solución, es una función [pic 5] definida en algún intervalo [pic 6] que al sustituirla en la ecuación la transforma en una identidad para todo[pic 7].
Ejemplo
La función [pic 8] es solución de la ecuación diferencial ordinaria[pic 9] para toda[pic 10].
Derivando la función [pic 11] obtenemos que
[pic 12]
Ejemplo
La función [pic 13] es solución de la ecuación diferencial [pic 14]para toda[pic 15].
Derivando la función [pic 16] y sustituyendo obtenemos que
[pic 17]
Ejemplo
La función [pic 18] es una solución de la ecuación[pic 19].
Derivando implícitamente con respecto a [pic 20], obtenemos
[pic 21]
Derivando implícitamente de nuevo, para calcular la segunda derivada
[pic 22]
Hasta este momento hemos visto ejemplos en los cuales la solucióón esta dada en formas explícita o implícita. En los siguientes ejemplos se muestran situaciones un tanto diferentes.
Ejemplo
La curva dada en forma paramétrica por
[pic 23]
es solución de la ecuación diferencial [pic 24].
Calculemos [pic 25]
[pic 26]
Sustituyendo
[pic 27]
Ejemplo
La función
[pic 28]
es solución de la ecuación diferencial [pic 29].
Observe que para calcular [pic 30] debemos usar el teorema fundamental del cálculo1.2
[pic 31]
Sustituyendo
[pic 32]
Si la solución de una ecuación diferencial de orden [pic 33] tiene [pic 34] constantes diferentes, diremos que dicha solución es la solución general de la ecuación diferencial. Si asignamos valores a algunas o todas esas constantes obtenemos lo que se conoce como una solución particular.
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