Metodos numericos de solución para una ecuación diferencial

INDICE.

1. PORTADA.
2. INDICE.
3. DESARROLLO.

-EULER.

-EULER MEJORADO.

-RUNGE KUTTA.

-NEWTON-RAPHSON.

-INTERPOLACION.

-DERIVACION.

-INTEGRACION NUMERICA.

DESARROLLO.

METODO DE EULER

El método de Taylor con n = 1, recibe el nombre de método de Euler y fue quizás el primer método numérico generado mucho antes de la existencia de ordenadores. Es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.

El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo:

[pic 1]

Consiste en multiplicar los intervalos que va de [pic 2] a [pic 3] en [pic 4] subintervalos de ancho [pic 5]; ósea:

[pic 6]

de manera que se obtiene un conjunto discreto de  [pic 7] puntos:  [pic 8] del intervalo de interés  [pic 9]. Para cualquiera de estos puntos se cumple que:

[pic 10] [pic 11].

La condición inicial  [pic 12], representa el punto [pic 13] por donde pasa la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará como  [pic 14].

Ya teniendo el punto [pic 15] se puede evaluar la primera derivada de [pic 16] en ese punto; por lo tanto:

[pic 17]

Método de Euler Mejorado

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. 

La fórmula es la siguiente: 

[pic 18]

Donde

[pic 19]

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica: 

[pic 20]

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio  [pic 21]corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto  [pic 22] donde  [pic 23]es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto  [pic 24] como la aproximación de Euler mejorada.

Método de Runge-Kutta

El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. Kutta.

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.

Sea

[pic 25]

una ecuación diferencial ordinaria, con  [pic 26] donde  [pic 27] es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

[pic 28]

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

[pic 29],

donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento [pic 30] entre los sucesivos puntos [pic 31] y [pic 32]. Los coeficientes [pic 33] son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

[pic 34]

con [pic 35] coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes [pic 36] del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, [pic 37] para [pic 38], los esquemas son explícitos.

Método de Newton-Raphson

Este método es uno de los más utilizados para localizar raíces ya que en general es muy eficiente y siempre converge para una función polinomial.

Se requiere que las funciones sean diferenciables, y, por tanto, continuas, para poder aplicar este método.

Se debe partir de un valor inicial para la raíz: xi, este puede ser cualquier valor, el método convergirá a la raíz más cercana.

Si se extiende una tangente desde el punto [pic 39] , el punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada de la raíz. 

[pic 40]

La fórmula de Newton-Raphson se deduce a partir de la fórmula de la pendiente de una recta.

Pendiente de una recta:

[pic 41]  [pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

Hay que determinar un número máximo de iteraciones

Normalmente esto se hace considerando una “tolerancia” esto es:

El valor absoluto de la diferencia de la [pic 46] debe ser menor que la tolerancia o el resultado de alguna fórmula de error debe ser menor que la tolerancia dada.

Una de las fórmulas de error más útiles es la del error relativo porcentual aproximado:

...