Suma De Reimann

1.1.3 SUMAS DE RIEMANN

Área

En la geometría euclídea, la región más simple es el rectángulo. Aunque suele decirse que la fórmula para el área del rectángulo es A = bh (Fígura 4.5). es más apropiado decir que eso es la definición del área del rectángulo.

De esa definición se pueden deducir fórmulas para las áreas de otras regiones planas. Así, para determinar la de un triángulo, formamos un rectángulo de área doble (Figura 4.6). Y una vez que sabemos hallar la del triangulo, el área de los polígonos se calcula dividiéndolos en triángulos (Figura 4.7).

Paralelogramo Hexágono Polígono

FIGURA 4.7

Calcular las áreas de regiones no poligonales es mucho más difícil. Los antiguos griegos fueron capaces de encontrar fórmulas para algunas regiones generales, acotadas por cónicas, mediante el método de exhaución. La descripción más precisa de este método se debe a Arquímedes. Esencialmente es un proceso de límites en el que el área se encierra entre polígonos, unos inscritos y otros circunscritos a la región en cuestión.

Por ejemplo, en la Figura 4.8 el círculo se aproxima por polígonos inscrito y circunscrito de n lados. Para cada valor de n, el área del polígono inscrito es menor que la del círculo y la del circunscrito es mayor que la del círculo. Más aún, al crecer n las áreas de los polígonos se acercan más y más a la de la región circular.

n = 6 FIGURA 4.8

EL MÉTODO DE EXHAUCIÓN PARA HALLAR EL ÁREA DEL CÍRCULO

DEFINICIÓN DEL ÁREA DE UNA REGION PLANA

Sea f continua y no negativa en el intervalo [a, b]. El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b es

donde ∆x = (b – a) / n (veáse Figura 4.9). FIGURA 4.9

Sumas de Riemann

En la definición de área, las particiones se hacían en subintervalos de igual longitud. Pero era sólo por facilitar los cálculos. El ejemplo que abre esta sección muestra que no es necesario tomar subintervalos de la misma longitud.

En la sección precedente se usó el límite de una suma para definir el área de una región plana. Ésta es sólo una de las múltiples aplicaciones de los límites de sumas. Un procedimiento similar se puede utilizar para calcular magnitudes tan distintas como longitudes de arco, valores medios, centroides, volúmenes, trabajos y áreas superficiales. El desarrollo que vamos a presentar lleva el nombre de Georg Friedrich Bernhard Riemann. Si bien

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