TEMA 4: LEY DE HOOKE GENERALIZADA

TEMA 4: LEY DE HOOKE GENERALIZADA

Además de deformación unitaria axial asociado a barras cargadas normalmente, un cuerpo puede estar sometido a deformaciones unitarias cortantes, lo que está asociado a su vez con esfuerzos cortantes aplicados. Ahora bien un cuerpo sometidos a cargas axiales en el plano también genera esfuerzos cortantes, siempre y cuando existan esfuerzos desviatorios, vale decir si el .

Relaciones esfuerzo – deformación para cortante

El cambio en el ángulo recto entre dos planos cualquiera imaginarios de un cuerpo define la deformación unitaria cortante . Para elementos infinitesimales, esos pequeños ángulos se miden en radianes.

En el Tema 1 vimos que los esfuerzos cortantes sobre planos mutuamente perpendiculares son iguales, con lo que se observa la situación planteada en la figura para cortante puro.

En numerosos problemas de ingeniería, los esfuerzos cortantes no superan el rango elástico del material. Para estos materiales, puede postularse una relación lineal entre el esfuerzo cortante puro y el ángulo . Luego, la ley de Hooke para esfuerzos y deformaciones cortantes tiene la forma:

Donde G es una constante de proporcionalidad llamada módulo de rigidez. Al igual que E, G es una propiedad específica para cada material.

Ley de Hooke generalizada

Esta sección trata respecto de las relaciones que se pueden establecer entre los esfuerzos y deformaciones unitarias en un material continuo, homogeneo, isotrópico y linealmente elástico.

Básicamente la ley de Hooke establece que existe una relación lineal entre el esfuerzo aplicado y la deformación resultante. Durante este proceso tiene lugar una concentración o expansión lateral de un cuerpo, dependiendo de si el cuerpo es estirado o comprimido. La magnitud de la deformación lateral es formulada anlíticamente usando la razón de Poisson. Esta situación se ilustra en la siguiente figura:

Para el caso de la figura la deformación en x y z es igual a y la deformación en y es . Si el esfuerzo fuera sometido en la dirección x, la deformación en z e y es y la deformación en ex es . Por último si el esfuerzo es aplicado en la dirección de z la deformación es x e y es y la deformación en z es . Al superponer estas deformaciones unitarias se obtienen las expresiones completas para las deformaciones unitarias cuando se someten a esfuerzos triaxiales, vale decir:

Análogamente:

Por otro lado, las desangulaciones debido a esfuerzos cortantes están dadas por:

De la primera ecuación:

(1)

(2)

(3)

Sumando (2) y (3) se obtiene:

Despejando queda:

(4)

Ahora reemplazando (4) en (1) se obtiene:

Dividiendo por E y pasando el término a la derecha queda:

Despejando x:

Desarrollando esta última expresión:

Haciendo un poco más de trabajo algebraico:

Sea , donde este último parámetro se llama coeficiente de Lamé, se tiene:

Por analogía:

Los esfuerzos cortantes están definidos por:

Ejemplo 1

Un cubo de acero de 50 mm de lado está sometido a una presión uniforme de 200 MPa actuando sobre todas las caras. Determine el alargamiento de todas las direcciones del cubo. Sea E=200 GPa y =0,25.

Solución

Se tiene que:

Reemplazando los datos:

Luego:

Como , implica que

Relaciones entre E, G y 

Un estado de esfuerzos de cortante puro, como el de la figura mostrada a continuación, puede transformarse en un sistema equivalente de esfuerzos normales.

Para hacer la transformación dividimos el cuadrado ABCD por la diagonal DB y aislamos un elemento triangular, como se muestra en la figura que sigue:

De la figura se puede observar que las componentes de las fuerzas paralelas a la diagonal DB están en equilibrio. Por otra parte, las componentes paralelas a la diagonal AC forman una resultante dada por , actuando normalmente hacia DB. Esta fuerza es equilibrada por el esfuerzo normal 1 que actúa sobre el área . Como estas dos fuerzas deben ser iguales, entonces 1=τ. Estos esfuerzos se muestran en la siguiente figura, y no pueden ser tratados como fuerzas.

Ahora aislando un elemento con lado AC, y realizando el mismo procedimiento se obtienen los esfuerzos mostrados en la figura que continua:

Además 3=τ. Los resultados de los dos análisis se muestran en la figura que se muestra a continuación:

La representación de los esfuerzos mostrados en la figura de arriba es completamente equivalente a la situación original, vale decir a la de cortante puro. Por lo tanto, un esfuerzo cortante puro en un punto puede ser representado alternativamente por los esfuerzos normales a 45° con las direcciones de los esfuerzos cortantes, numéricamente estos esfuerzos son:

Considere el elemento deformado de la figura de más abajo. Determinaremos la deformación unitaria en la diagonal AC de dos maneras distintas: a través de los esfuerzos cortantes en primer lugar y luego a partir de los esfuerzos normales equivalentes.

Considerando sólo deformaciones infinitesimales, se puede trabajar con las siguientes aproximaciones:

Se infiere que el desplazamiento CC´ debido a esfuerzos cortantes está dado por . La proyección de este desplazamiento, que con el orden de aproximación adoptado, es igual al alargamiento AC, es: . Ahora, como la longitud de la diagonal AC es implica que la deformación unitaria normal es:

De la ley de Hooke tenemos:

Ahora, usando los esfuerzos normales equivalentes que calculamos anteriormente y teniendo presente que en el caso de esfuerzos principales:

En el caso particular analizado:

Igualando las dos expresiones que definen la deformación unitaria a lo largo de la diagonal se obtiene:

Esta relación muestra que E, G y  no son independientes. Por tanto si dos cualquiera de ellas se determinan experimentalmente, la tercera puede calcularse. También se puede rescatar que G siempre es menor que E, puesto que la razón de Poisson siempre tiene valores positivos del orden de 0,25.

Dilatación

El objetivo de esta sección es determinar una ecuación para los cambios volumétricos en materiales elásticos sometidos a esfuerzos.

Los lados de un elemento infinitesimal dx, dy, dz después de deformarse se convierten en , respectivamente. Luego el volumen del elemento esta dado por:

Luego, la diferencia de volumen es:

Bajo la hipótesis de deformaciones infinitesimales se desprecian los términos de segundo y tercer orden en el paréntesis, con lo que la expresión queda:

Luego el cambio de volumen por unidad de volumen es:

e se llama dilatación

Sumando queda:

Lo que significa que la dilatación es proporcional a la suma algebraica de los esfuerzos normales.

TEMA 5: TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES UNITARIAS

En este capítulo se analiza un procedimiento formal para cambiar las componentes del estado de esfuerzos o deformación unitaria en un conjunto de ejes coordenados, a otro conjunto de ejes girados. En ambos casos, el análisis se confina a problemas en dos dimensiones. La posibilidad de transformar un estado dado de esfuerzos que implique esfuerzos normales y cortantes a cualquier otro conjunto de ejes girados, permite examinar el efecto de tales esfuerzos sobre un material. De esta manera pueden hacerse hipótesis relativas a los criterios de falla. Este importante tema será tratado en particular para rocas en los cursos de geología y geomecánica.

Supongamos un elemento, por ejemplo una viga, que está sometida a esfuerzos normales a ella debido a una tensión axial y a esfuerzos cortantes directos. Si analizamos un punto de la viga, podemos observar que por él pasan infinitos planos, luego el estado de esfuerzos se puede describir de distintas maneras que son todas equivalentes.

Transformaciones de esfuerzos en problemas bidimensionales

En esta sección obtendremos ecuaciones en forma algebraica para los esfuerzos normales y cortantes que actúan en un plano inclinado. Tales expresiones se llaman ecuaciones de transformación de esfuerzos. Estas ecuaciones se basan en los esfuerzos inicialmente dados que actúan sobre un elemento de orientación conocida y en el plano que se está investigando, definido por una normal a él. Las ecuaciones se desarrollaron considerando un elemento de espesor unitario en un estado de esfuerzos bidimensional xy, que será transformado a los ejes x´y´.

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