TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES DE LÍNEA

TEOREMA

FUNDAMENTAL DE LAS

INTEGRALES DE LÍNEA

TEOREMA 1 (TEOREMA FUNDAMENTAL)

Sea C una curva suave dada por la función vectorial r(t), a ≤ t ≤ b. Sea f una función derivable de 2 ó 3 variables, cuyo vector gradiente ∇f es continuo sobre C. Entonces:

[pic 1]

  La intuición detrás de esta fórmula es que cada lado representa el cambio en el valor de una función multivariable, , f, conforme caminas por una trayectoria parametrizada por r⃗(t)

  Esta fórmula implica que los campos gradientes son independientes de la trayectoria, es decir, que las integrales de línea sobre dos trayectorias que conectan los mismos puntos inicial y final son iguales.

El teorema fundamental de las integrales de línea, también conocido como el teorema del gradiente, es una de muchas maneras de extender este teorema a dimensiones más altas. De alguna manera, establece que la integración de línea en un campo vectorial es lo opuesto a calcular gradiente. El teorema establece que:

[pic 2]

Donde

• es alguna función escalar multivariable.

• ∇f es el gradiente de f

• r⃗(t) es una función vectorial que parametriza alguna trayectoria en el espacio de entradas de, f,

• r⃗(a) y r⃗(b) son los puntos inicial y final de la trayectoria.

• r⃗′(t) es la derivada de r⃗(t) que, como siempre, calculamos componente a componente.

También podrás ver este teorema escrito sin referencia a la parametrización r⃗(t) de la manera siguiente:

[pic 3]

Donde C representa la trayectoria en el espacio, con A y B sus puntos inicial y final, respectivamente, y ds  un pequeño paso a lo largo de C.

En resumen, el teorema establece que la integral de línea del gradiente de una función f es igual al cambio total en el valor de f del principio al final de la trayectoria.

) Independencia del camino en una integral de línea. Calcular el trabajo llevado a cabo por el campo de fuerza F al llevar un objeto desde A hasta B, siguiendo a) un camino compuesto de un tramo horizontal seguido de uno vertical; y b) un camino compuesto por un tramo vertical seguido de uno horizontal. Discutir si el resultado es lógico o no.

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