Teorema fundamental del calculo

         El teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo es muy importante en cálculo (podrías incluso decir que es ¡fundamental!). Conecta las derivadas y las integrales de dos maneras equivalentes:

I.[pic 1]

II.​(x)dx=F(b)-F(a)[pic 2]

La primera parte establece que si defines una función como la integral definida de otra función f entonces la nueva función es la antiderivada de f.

La segunda parte establece que para poder calcular la integral definida de f  entre a y b, hay que encontrar una antiderivada de f, que llamaremos F, y calcular F(b)- F(a).

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la integral [pic 3] de la función continua [pic 4] es la propia [pic 5].

 [pic 6]

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas.

Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original.

Ejemplo:Hallar la derivada de

[pic 7]

1.Notamos que [pic 8], por lo que su diferencial [pic 9]

 2.Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos

[pic 10]

Ejemplo:

Hallar la derivada de[pic 11]

                                                                                                                                                  1.Primero cambiamos los límites de integración, ello produce que la integral cambie de signo[pic 12]

 2.Notamos que [pic 13], por lo que su diferencial [pic 14]

 3.Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos[pic 15]

Ejemplo: 

Hallar la derivada de[pic 16]

 1.Notamos que [pic 17], por lo que su diferencial [pic 18]

 2.Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos[pic 19]

Si una función es continua en un intervalo cerrado [pic 20], entonces existe un punto [pic 21] en el interior del intervalo tal que:[pic 22]

  [pic 23]

Ejemplo:Hallar el valor de [pic 24] del teorema de la media, para la función [pic 25] en el intervalo [pic 26].

 1.Calculamos el resultado de la integral definida[pic 27]

2.Como la función es continua en el intervalo [pic 28], se puede aplicar el teorema de la media.

 [pic 29]

3.El valor de [pic 30], el cual sustituimos en la igualdad anterior y despejamos [pic 31]

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