Teorema Fundamental Del Calculo

Teorema Fundamental Del Calculo

Teorema Fundamental del Cálculo

El cálculo está en el corazón de las matemáticas y se compone de dos operaciones básicas que son, integración y diferenciación. Existía la necesidad de cerrar la brecha entre estas dos operaciones y por tanto el Teorema Fundamental del Cálculo fue diseñado. Este teorema está dividido en dos partes, a saber: El Primer Teorema Fundamental del Cálculo y el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo.

Y la cual es una función continua de un intervalo con rango desde [p, q], existe una función integral indefinida F de la función dada en el mismo intervalo de forma que,De acuerdo con el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, para una función f: X

Este teorema ayuda a establecer una conexión entre la integración indefinida que es únicamente de origen algebraico y la integración definida que es únicamente de origen geométrico. También sugiere la existencia de una antiderivada para cada función que sea continua.

Demos un vistazo a un ejemplo para tener una comprensión más profunda.

De acuerdo con el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, para una función f: X → Y la cual es una función continua de un intervalo abierto donde haya un punto x dentro de este intervalo abierto entonces una función integral indefinida F de la función dada será definida como,

Entonces para cada punto en el intervalo abierto de la función dada se puede concluir que,

En términos simples se puede afirmar que para cualquiera de las funciones su integral definida se puede calcular con la ayuda de cualquiera de sus antiderivadas.

El segundo teorema es altamente utilizado para aplicaciones prácticas dado que con el uso de este teorema se hace muy fácil calcular la integral definida de una función.

El Teorema Fundamental del Cálculo se ha modificado para hacerlo conveniente para resolver algunos de los problemas de las curvas lo cual pude ser establecido como, para una función f: X → Y la cual tiene una integral indefinida continua en algún área limite la cual en sí contiene una curva parametrizada ,

Si el Teorema Fundamental del Cálculo se combina con la Regla de la Cadena, algunos los resultados de interés procedentes del cálculo pueden ser obtenidos. Por ejemplo, sea f(z) una función continua sobre el intervalo [p, q] y asuma que g(z) es diferenciable en el mismo intervalo, entonces podemos afirmar que,

Como sabemos que la Regla de la Cadena establece que,

Una forma generalizada para la expresión puede ser,

Para la expresión anterior ambas funciones g(z) y v(z) son diferenciables en el intervalo dado. Un ejemplo haría las cosas más fáciles de entender,

Aquí F(x) no posee una forma explícita de sí misma.

Medicion Aproximada De Figuras Amorfas

Medida Aproximada de Figuras Amorfas

Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el resultado.

Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estimaresta área.

La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante.

Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada.

Estas son: 1 Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b.

El gráfico de la función se muestra a continuación,

Para estimar el área de tal figura, considereque el área bajo la curva estácompuesto por un gran número de delgadas tiras verticales.

Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dxpara la anchura. El área de esta tira elemental sería, dA = y dx donde y = f(x)

El área total A de la región entre el eje x, la ordenada x = a y x = b y la curva y = f (x) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o la zona limitada.

Esto produce la fórmula, A = dA = y dx = f(x) dx La integral anterior puede ser evaluada mediante poner la función en su lugar e integrándola.

2 La segunda situación es cuando el área está delimitada por la curva x = g(y), el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y. La gráfica de la función se muestra a continuación,

Asuma que el área bajo la curva está compuesta de un gran número de tiras delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria dypara la altura y xpara la longitud. El área de esta tira elemental sería, dA = x dy donde x = g(y)

El área total A de la región entre el eje x, la ordenada y = y1 y y2 = y, y la curva x = g(y) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o el área limitada. Esto produce la fórmula, A = dA = x dy = g(y) dy

3 Se presenta una tercera situación cuando la curva en cuestión se encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a hasta x = b, el área limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x = b, y el eje x es negativo.

Pero el valor numérico del área debe ser tomado en consideración,entonces

A = | f(x) dx|

4 Una última posibilidad sería que una parte de la curva esté por encima del eje x y otra parte esté por debajo del eje x. Sea A1 el área debajo del eje x y A2 el área por encimadel eje x. Por lo tanto, el área limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b serán,

A = |A1| + A2

Tomemos ahora un ejemplo para entender la solución de tales problemas,

Encuentre el área de la región limitada por la curva y2 = x y las rectas x = 1, x = 4 y por el eje x.

La curva y2 = x es una parábola con su vértice en el origen. El eje de x es la línea de simetría la cual es el eje de la parábola. El gráfico de la función dada sería,

El área de la región limitada es,

A = y dx = dx = 2/3 [x3/2]14 = 2/3 [43/2 – 13/2] = 2/3 [8 – 1] = 14/3

Saludos y suerte prof lauro soto

Notacion Sumatoria

Notación Sumatoria

En muchas ocasiones las operaciones matemáticas requieren la adición de una serie de números para generar la suma total de todos los números de la serie. En tal escenario se hace difícil escribir la expresión que representa este tipo de operación. El problema empeora a medida que incrementan los números en la serie. Una solución es utilizar los primeros números de la serie, luego puntos suspensivos y finalmente los últimos números de la serie, como se muestra a continuación,

Esta expresión representa una operación que incluye lasuma de los primeros cien números naturales. En esta expresión hemos usadolos puntos suspensivos, los tres puntos en la sucesión, para simbolizar la ausencia de números en la serie.

Una solución aún mejor es hacer uso del símbolo sumatorio o sigma. Este es un tipo de técnica abreviada que ofrece una alternativa más conveniente para representar la operación sumatoria. Puede ser representada de la siguiente manera,

Aquí se representa la variable o los términos en la serie. El operador sigma es un símbolo de laGrecia antigua, donde fue utilizado como letra mayúscula del alfabeto S. Una representación típica de la operación sumatoriautilizando el símbolo sumatorio se representa,

La variable que aparece en la parte derecha del símbolo es el “Elemento Típico”, el cual será sumado con la operación sumatoria. Siempre existe un límite inferior y un límite superior de la operación los cuales están representados por debajo y por encima del símbolo sumatorio. La variable, representando el límite de la operación, se escribe debajo del símbolo sumatorio hacia la izquierda del límite inferior.

El límite de la operación se inicia a partir del valor hacia el lado derecho del índice de la variable y termina en el valor escrito sobre el símbolo sumatorio. El límite inferior de la operación es llamado en ocasiones punto de partida, por lo tanto, el límite superior es llamado punto final.

La expresión mostrada arriba se calcula como,

= x1 + x2 + x3 + … + xn-1 + xn

Mientras que algunos matemáticos están a favor de la escritura de la notación completa cada vez que se va a escribir una operación de notación sumatoria, algunos de ellos están a favor de escribirla solamente cuando se requiere producir la suma de algunas de las cantidades disponibles del conjunto de cantidades, y de escribir una versión abreviada cuando se va a producir la suma de los valores del conjunto completo. A modo de ejemplo, serviría a los fines en el último caso.

Es posible elevar al cuadrado cada uno de los términos y luego producir la suma de todas las cantidades cuadradas. Tal operación se puede denotar como,

= x12 + x22 + x32 + … + xn-12 + xn2

La notación abreviada de la expresión anterior sería x2. Es esencial recordar que esta notación es completamente diferente de ( x)2 dado que esta última expresión denota una operación en la queprimero se suman todos los términos y luego se eleva al cuadrado el resultado obtenido, mientras que la operación anterior denota una expresión en la cual se produce la suma de términos que ya estaban elevados al cuadrado.

Otra operación interesante que se puede realizar utilizando el símbolo sumatorio es la sumatoria de productos vectoriales. Taloperación se puededenotarcomo,

Saludos y suerte prof lauro soto

Sumas De Riemann

En las matemáticas , una suma de Riemann es una suma de un gran número de pequeñas particiones de una región. Se puede utilizar para definir la integración de la operación. El método fue nombrado por el matemático alemán Bernhard Riemann .

Vamos f : D → R una función definida en un subconjunto, D , de la recta real, R . Deja que yo = [ a , b ] es un intervalo cerrado contenido en D , y dejar

ser una partición de I , donde

La suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

La elección de x_i ^ *en el intervalo [X_ {i-1}, x_i]es arbitraria.

Ejemplo: opciones específicas de x_i ^ *darnos diferentes tipos de sumas de Riemann:

Si x_i ^ * = x_ {i-1}para todos los i , entonces S se llama suma de Riemann izquierda . Si x_i ^ * = x_ipara todos los i , entonces S se llama suma de Riemann derecha . Si x_i ^ * = \ tfrac {1} {2} (x_i + x_ {i-1})para todos los i , entonces S se llama una suma de Riemann medio . El promedio de izquierda y derecha de la suma de Riemann es la suma trapezoidal . Si se da que

donde v_ies el supremo de f sobre [X_ {i-1}, x_i], entonces S se define como una suma de Riemann superior . Del mismo modo, si v_ies el ínfimo de f más [X_ {i-1}, x_i], entonces S es una menor suma de Riemann .

Cualquier suma de Riemann en una partición dada (es decir, para cualquier elección de x_i ^ *entre x_ {i-1}y x_i) está contenida entre la parte inferior y las sumas de Riemann superiores. Una función se define para ser integrable Riemann si los inferior y superior sumas de Riemann se vuelven cada vez más cerca como la partición consigue más fino y más fino. Este hecho también se puede utilizar para la integración numérica .

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Definicion De Integral Definida

Definición de Integral Definida

La integración es el proceso inverso de la diferenciación. La integración nos da la libertad para dirigir en el espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la integración indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es aquella que no tiene límites, mientras que una integración definida es aquella que está integrada con respecto a ciertos límites. La notación convencional de la integral definida es la siguiente,

Encima se muestra la integración definida de algún f(x) dentro del intervalo [a, b]. Es importante que la función dada, la cual será integrada para algún intervalo sea continua para el intervalo en el cual se va a integrar. La integral de Riemann es un caso especial de la integral definida en la cual x es esencialmente un número real.

Una integral definida se representa más comúnmente como,

Aquí, la función dada se divide en n intervalos de igual longitud n

yi es un punto arbitrario que se selecciona de cada intervalo.

Para el ejemplo ilustrado arriba, la interpretación analítica resulta ser las líneas definidas por las expresiones, y = 0, y = f(x), x = b y x = a, como se muestra en el gráfico anterior. La suma del área sombreada es igual a nuestra expresión f(x) dx.

Aquí, el número debajo del signo de la integración que es a, es el límite inferior de la integración definida, mientras que el número que está por encima del signo de la integración que es b, es el límite superior de integración. En conjunto se denominan límites de integración. Sin embargo, es esencial que el límite inferior sea menor que el límite superior.

Una interesante interpretación de la integración definida es el Teorema del Cambio Total. Para alguna función f(x), f’(x) da la razón de variación de la función dada, entonces

da la variación neta de la función dada para algún intervalo [p, q]. En términos simples, se puede afirmar que la integración definida de la razón de variación de una función produce la variación total de los valores de la función. En la expresión dada anteriormente, está claro que la diferencia f(b) - f(a) da la variación total de la función dada f(x) en sus límites de integración.

Veamos ahora un ejemplo ilustrativo para tener una comprensión más profunda del tema.

(3y2 + 2y +5) dy

[y3 + y2 +5y]15(la expresión anterior denota la sustitución del límite inferior, así como del límite superior en la expresión dada)

[4(5)3 + (5)2 + 5(5)] (reemplace el valor del límite superior para las variables en la expresión dada)

[4(125) + (25) + 5(5)]

125 + 25 + 25

175

[(1)3 + (1)2 + 5(1)](reemplace el valor del límite inferior para las variables en la expresión dada)

[(1)3 + (1)2 + 5(1)]

1 + 1 + 5

7

Ahora reste los dos valores finales para obtener el resultado de la integración.

175- 7

168

Es de destacar que el resultado final es un número y no algún término de variable, lo que significa que para las integrales definidas podemos determinar los resultados reales.

Saludos y suerte prof lauro soto

Teorema De Existencia

En matemáticas, un teorema de existencia es un teorema con un enunciado que comienza ‘existe(n)…’, o más generalmente ‘para todo x, y, …existe(n) …’. Esto es, en términos más formales de lógica simbólica, es un teorema con un enunciado involucrando el cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo hacen explícitamente, como es usual en el lenguaje matemático estándar, por ejemplo, el enunciado de que la función seno es una continua, o cualquier teorema escrito en la notación O.

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1.1 Medición Aproximada de Figuras Amorfas

Las figuras amorfas, “son aquellas figuras que no tienen forma porque en realidad

Sumatoria o Notación Sigma

La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma) es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos.

La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, y se representa así:

Expresión que se lee: "sumatoria de Xi, donde i toma los valores desde 1 hasta n".

i es el valor inicial, llamado límite inferior.

n es el valor final, llamado límite superior.

Pero necesariamente debe cumplirse que:

i ≤ n

Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus límites y su expresión se puede simplificar:

Ahora, veamos un ejemplo:

Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:

Pero también hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido.

Una anécdota aclaratoria

La historia relata que cuando Carl Friedrich Gauss tenía diez años su profesor de matemática le impuso al curso, como una forma de mantenerlos ocupados por largo rato, el siguiente ejercicio:

Sumar todos los números desde el 1 hasta el 100, de este modo:

1 + 2+ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ……………….+ 98 + 99 + 100 =

Confiado en que los niños estarían ocupados durante mucho rato, el profesor se enfrascó en sus tareas de estudio, pero a los cinco minutos, el pequeño Gauss le entregó el resultado: 5.050.

Sorprendido, el profesor le pidió a Gauss que le explicara cómo lo hizo:

El pequeño se dio cuenta de que la suma del primer número con el último (1 + 100 = 101) da un resultado que se repite sumando todos los simétricos: 1 + 100 = 101; 2 + 99 = 101; 3 + 98 = 101; 4 + 97 = 101; etc., logrando establecer 50 sumas cuyo resultado es 101.

Entonces, hizo: 50 veces 101 es igual a 50 x 101 = 5.050

Este procedimiento nos conduce a la fórmula de la sumatoria de n números consecutivos:

Si aplicamos la fórmula al problema anterior, tendremos:

Por ejemplo, para sumar los primeros mil números naturales no tiene mucho sentido sumar número por número, si se puede usar la fórmula:

Algunas fórmulas de la operación sumatoria

Fórmula para la suma de n números consecutivos (1+ 2 + 3 + 4 + 5 ……+ n); que acabamos de ver arriba.

Fórmula para la sumatoria de los cuadrados de n números consecutivos (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + ……….+ n2) :

Fórmula para la sumatoria de los cubos de n números consecutivos (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73……..+ n3):

En seguida, ir a: Propiedades de las sumatorias

TODO tiene una forma, pero se refiere a que no tiene forma conocida, no es un cuadrado, ni triángulo, ni nada de ese estilo. Es una curva o una figura de muchos lados distintos y "deforme". y su prSuma de Riemann

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha eizquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.

En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

Definición[editar]

Consideremos lo siguiente:

• una función

donde D es un subconjunto de los números reales

• I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.

• Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b

crean una partición de I

P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}

Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.

Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.

Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Suma Trapezoidal[editar]

En este caso, el valor de la función f en un intervalo se aproxima por el promedio de los valores de los extremos a izquierda y derecha. De la manera ya descripta, un simple cálculo usando la fórmula del área

para un trapecio con lados paralelos b1, b2 y altura h produces

El error de esta fórmula será

donde es el valor máximo del valor absoluto de

La aproximación obtenida con la suma trapezoidal para una función es igual al promedio de las sumas izquierda y derecha de Riemann.

Método de Suma Trapezoidal de la función en el intervalo [0,2] usando cuatro subdivisiones.

M.C. Alfredo Barbosa Baza

Véase también[editar]

incipal finalidad es encontrar en una grafica dada su área de la parte de adentro de la figura donde se encuentra el punto

dado de la figura amorfa”. La notación sumatoria es encontrar el valor de la ecuación dada respecto a un número determinado cuando un punto “n” tiende a cualquier número dado. Existen dos tipos de notación sumatoria: la notación sumatoria abierta y la notación sumatoria pertinente. La suma de riemman es igual al de las figuras amorfas solo que en esta se emplean una series de formulas para una aproximación del áreatotal bajo la grafica de una curva. La integral definida es utiliza para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas, también son llamadas así porque dada una ecuación su integral es definida por que esta tiende de un punto a otro y se podría decir que se conoce el valor al que se quiere graficar esa función.las propiedades de la integral definida son 10

la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

Mediciones De Figuras Amorfas

1.3 Suma de Riemann

En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectangulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectangulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

Introducción

Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann

Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es:

Teniendo los intervalos:

La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:

donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux.

Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:

Sabiendo que:

Podemos obtener las siguientes igualdades:

(donde C es constante)

:

Las figuras amorfas, “son aquellas figuras que no tienen forma porque en realidad TODO tiene una forma, pero se refiere a que no tiene forma conocida, no es un cuadrado, ni triángulo, ni nada de ese estilo. Es una curva o una figura de muchos lados distintos y "deforme". y su principal finalidad es encontrar en una grafica dada su área de la parte de adentro de la figura donde se encuentra el punto dado de la figura amorfa”. La notación sumatoria es encontrar el valor de la ecuación dada respecto a un número determinado cuando un punto “n” tiende a cualquier número dado. Existen dos tipos de notación sumatoria: la notación sumatoria abierta y la notación sumatoria pertinente. La suma de riemman es igual al de las figuras amorfas solo que en esta se emplean una series de formulas para una aproximación del área total bajo la grafica de una curva. La integral definida se utiliza para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas, también son llamadas así porque dada una ecuación su integral es definida por que esta tiende de un punto a otro y se podría decir que se conoce el valor al que se quiere graficar esa función.

MEDICIONES APROXIMADAS DE FIGURAS AMORFAS

Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras.

Para un polígono irregular ( figuras con curvas) trazas diagonales y resuelves por triángulos.

NOTACION DE SUMATORIA

En el estudio del área se trataran sumas de muchos términos, de modo que se introduceLa integral definida

Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.

Concepto de integral definida

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades de la integral definida

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

• Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.

• Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.

• La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

• La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).

• Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

• Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

• Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x)  g (x), se verifica que:

Ilustración gráfica del concepto de integral definida.

Función integral

Considerando una función f continua en [a, b] y un valor x  [a, b], es posible definir una función matemática de la forma:

donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variable independiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre de función integral o, también, función área pues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área.

Interpretación geométrica de la función integral o función área.

Teorema fundamental del cálculo integral

La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:

• Se busca primero una función F (x) que verifique que F¿ (x) = f (x).

• Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).

• El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:

una notación, llamada notación sigma, para facilitar la escritura de estas sumas. Esta notación requiere el uso del símbolo ( Σ ),la letra sigma mayúscula del alfabeto griego.

1.5 teorema de existencia

Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica:

El valor f © se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b].

Quizá sea interesante hacer varias observaciones:

1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad.

2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.

3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodos numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones de integración sencilla.

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2. EL TEOREMA APLICADO A UNA FUNCIÓN DETERMINADA Vamos a estudiar la aplicación del teorema a una función concreta. Para una primera aproximación vamos a escoger una función que sea continua en cualquier intervalo de la recta real, para que tengamos la seguridad de que se cumple la hipótesis de nuestro teorema.

La función objeto de nuestro estudio va a ser la siguiente:

Los controles a y b son los extremos del intervalo. Al cambiar sus valores se puede observar como varía el valor medio de la función y el punto, o puntos, en que se alcanza dicho valor. La función con la que estamos trabajando es simétrica y eso provoca que en algunos intervalos el punto c no sea único.

El trazo azul indica el conjunto de valores que toma la función en el intervalo [a,b], cuyo valor medio queremos calcular. Ten en cuenta que el extremo del intervalo a debe ser más pequeño que el extremo b. En cualquier caso, si te equivocases, aparecería un mensaje de error.

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3. EL TEOREMA APLICADO A UN TIPO DIFERENTE DE FUNCIONES

Vamos a considerar ahora la aplicación del teorema a un tipo diferente de funciones. Aquí el punto en el que se alcanza el valor medio es único ya que la familia de funciones exponenciales que estudiamos, también con dominio en todos los números reales y fácilmente integrables, se caracteriza por su monotonía. El conjunto de funciones que representamos responde a la ecuación general

en la que k puede tomar diversos valores reales en el intervalo [−0.5 , 0.5], lo que hace que la función pueda ser una exponencial creciente o decreciente. En el caso K = 0, al tratarse de una función constante el teorema carece de interés.

En la escena anterior la función era definida positiva y por tanto también lo era su valor medio. Ahora las funciones pueden tomar valores positivos y negativos según los intervalos, lo que afecta al valor medio obtenido.

El control k permite variar la función exponencial considerada. Los controles a y b representan, como en la escena anterior, los extremos del intervalo. Puedes estudiar diferentes intervalos en cada función que representes

Integración indefinida

El campo vectorial definido asignando a cada punto (x, y) un vector que tiene por pendiente ƒ(x) = (x3/3)-(x2/2)-x. Se muestran tres de las infinitas primitivas deƒ(x) que se pueden obtener variando laconstante de integración C.

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

ó

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

funcion primitiva

una funcion primitiva es aquella que despues de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integracion no vuelve exactamente a su funcion original

ej:

y=3x”+2x+18

dy/dx=6x+2

dy=6x+2 (dx)

Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c

Integral definida: Proceso de cálculo de áreas encerrada entre una curva y un eje cartesiano. Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral. Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio). F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F’ = f. Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real. Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

Aquí están las principales funciones primitivas: Función F: primitiva de f función f: derivada de F

Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2–3x). Como no se conoce primitivas de un producto, desarollemos la expresión: x(2–3x)= 2x - 3×2. 2x es la derivada de x2, 3×2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3×2 tiene como primitiva x2 - x3 + k. Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7. Al diferir las primitivas de una misma función f de una constante solamente, resulta que la diferencia F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin mencionar a F, sino solamente a f:

Se llama integral de f entre a y b este valor. La integral tiene un significado muy concreto en el campo de la geometría: es el área entre la curva de f, el eje de los x, y dos rectas verticales x = a y x = b: éste es el teorema fundamental del análisis.

Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por lo tanto el área de la que hemos hablado es algebraica y no geométrica. Si una función es alternadamente positiva y negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de los x.

La relación de Chasles:

cuya prueba es elemental, tanto si se recurre a argumentos geométricos (con a <>

y

La segunda fórmula se interpreta fácilmente: el área entre las rectas x = a y .. x = a de nuevo es nula, pues la rectas están pegadas. La primera se puede justificar así: cuando se recorre un segmento de la derecha a la izquierda, el área correspondiente cambia de signo. Esto sucede porque la noción de área está muy relacionada con el producto vectorial de dos vectores (y con el determinante), y tal producto cambia de signo si un vector lo hace. Otras propiedades

Las primitivas de una función impar es siempre par. En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.

La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0. En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:

Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar. La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica

Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre las abcisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres áreas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidiad y la relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras! (cortando y superponiendo las áreas de color). En término de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A. Entonces la función G(x) = F(x) - Ax/T es periódica de período T. En efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T = G(x). Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, periódica, y de Ax/T, lineal.

Y por último, una relación entre la integral de una función y la de su recíproca. Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f. Entonces tenemos la relación:

El área morada es la integral de f, el área amarilla es la de f −1, y la suma es el rectángulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos). Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de f −1 aplicando la simetría axial al rededor de la diagonal y = x. El interés de esta fórmula es permitir el cálculo de la integral de f −1 sin conocer una primitiva; de hecho, ni hace falta conocer la expresión de la recíproca.

PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN

Primera propiedad

Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la función F(x) + C es otra primitiva de f(x).

Demostración:

Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.

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