El Teorema fundamental del calculo.

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Centro de Educación Media.

Departamento de matemáticas y física.

Plantel Oriente.

Calculo integral.

Maestro: Francisco Eusebio Sánchez Arellano.

Karen Elizabeth Zapata Martínez.

Fecha de entrega: 25 de Noviembre 2016

Teorema fundamental del cálculo.

El teorema fundamental del cálculo, en palabras sencillas, nos dice que dicho teorema junta la derivación e integración, mostrando que ambos procesos son operaciones inversas.

Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original.[pic 2]

Parte 1. Si tenemos:[pic 3]

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O en un caso un poco más complejo:[pic 5]

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Ejemplos:

1. Lo que vamos a hacer es reescribir la expresión  pero en términos de x.[pic 9][pic 8]

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1. Lo que vamos a hacer es reescribir la expresión  pero en términos de x.[pic 11]

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1. Se aplica la segunda fórmula ya vista, evaluamos “t” con . Y se multiplica la derivada de .[pic 15][pic 16]

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Parte 2. Si tenemos:

Esta expresión es igual a F(x), que es la anti derivada, y es evaluada con los límites de integración “a” y ”b”. Es igual a la resta de la evaluación con cada límite de integración.

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Hay que encontrar una función, ósea una anti derivada, llamada primitiva de tal manera que al derivarla nos de la función que tenemos en el integrando.

Ejemplos:

1. La integral de cosx es senx, (hay que recordar que la derivada de senx es cosx). Y el resultado se evalúa en los dos límites de integración. Se resuelve las operaciones.[pic 23]

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Propiedades de la integral definida.

1. Si a > b, entonces:

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1. Si f (a) existe, entonces:

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1. Si k es una constante cualquiera entonces:[pic 27]

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1. Si la función f es integrable en [a, b] y, k es una constante arbitraria, entonces:

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1. Si las funciones f y g son integrables en [a, b], entonces  también es integrable en [a, b]: [pic 30][pic 31]

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1. Si f es integrable en [a, b],[a, c] y[c, b], y a <  c < b, entonces: [pic 33]

Áreas bajo curva.

Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado , el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales viene dada por:[pic 34]

AREA = ∫ f(x) dx

Observemos la siguiente:

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Para que me quedara un poco más claro realice un ejemplo:

Vamos a encontrar el área que se encuentra dentro de la siguiente función, que es restringida por dos rectas verticales (x) y una horizontal (y):

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Primero vamos a tabular nuestra función (que como es cuadrática su grafica  resultara una parábola) entre los valores de x ya dados (1 y 4). Después vamos a localizar esos puntos en un plano cartesiano.

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El área se va a encontrar con la integral de 1 hasta 4 de la función aplicando el concepto de área bajo la curva. Convirtiéndola en una expresión integral definida.

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Ahora vamos a resolver esa función. Primero vamos a encontrar la integral de cada uno de los términos. Y evaluar con nuestros límites de integración (1 y4).

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Primero lo evaluamos con el límite superior (4) y después restamos evaluando el límite inferior (1). Resolvemos las operaciones. Y como estamos hablando de áreas el resultado será unidades cuadradas ().[pic 49]

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Volumen de solidos de revolución.

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

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Exiten varios metodos:

• Método del disco.   Este metodo consiste en tomar una seccion transversal de la figura, que al momento de hacerla girar alrededor de algun eje nos genere una forma, la cual calcularemos su volumen con la siguiente ecuacion:    V = π f(x) dx.

en donde el volumen es igual a la integral de la funcion f(x) al cuadrado por dx.

Para explicar mejor este metodo realice un ejemplo:

1. Hallar el volumen del solido que resulta de girar, alrededor del eje “x”, la regio limitada por la curva.   , y las rectas y = 0 y x = 4.[pic 56]

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Ahora explicare la gráfica de arriba. Primero grafiqué las rectas ya dadas (“x” y “y”), las cuales fueron formando la región que representa el giro con respecto al eje x generando el sólido de revolución, se puede observar que en el hay una intersección entre las recta de “y” y de x = 4.[pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93][pic 94][pic 95][pic 96]

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