“Teorema fundamental del cálculo”

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Parte 1. Áreas de regiones delimitadas por curvas

1. Enuncia el “Teorema fundamental del cálculo” y retroalimenten su descripción en una sesión  plenaria.

Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando una integral indefinida. Incluso funciones no diferenciables con esquinas, tales como el valor absoluto tienen una antiderivada.

Muchas veces el problema es cómo encontrar una antiderivada de una función, es decir, dada una función f(x), encontrar una función F(x) tal que F'(x) = f(x).

1. Traza la gráfica de la función f(x)=4–x2. Señala y calcula el área entre la curva de f(x)=4– x2 y el eje X en el intervalo [0,2][pic 6]

2[pic 7]

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4 - x2 = 0

4 = x2

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X1 = 2    x2 = -2

1. ¿En qué se diferencia el cálculo del área y si la región está completamente debajo del eje X, es decir, si f(x)” 0 en el intervalo dado?

Que calcula el área entre el eje x y las curvas

1. Considera la función f(x)=4–x2 señala y calcula el área entre la curva y el eje X en el intervalo [2,4]

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1. Explica cómo se calcula el área de la región acotada por una función y=f(x), el eje X y las rectas x=a y x=b en el caso de que f(x) sea positiva algunas veces y otras sea negativa en el intervalo a

Calculamos el área en cada subintervalo por separado, el área requerida es entonces la suma de todas las áreas.

1. Traza la gráfica de la función f(x)=x2-3x, señala y calcula el área entre la curva, el eje X y las recetas verticales x=-2 y x=[pic 13]

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1. Verifica tus resultados anteriores graficando las funciones con GeoGebra y calculando el área con el siguiente comando:

Integral [Función, Valor inicial de x, Valor final de x]

1. Explica cómo se calcula el área de la región acotada entre las curvas y=f(x) y y=g(x) si f(x)>g(x)>0 en a” x” b, es decir cuando ambas curvas están arriba del eje X y la curva y=f(x) está encima de la curva y=g(x)

El área se calcula encontrando la diferencia entre la región acotada por y=f(X) y el eje x y el área de la región acotada por y = g(X) y el eje x

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1. Traza las gráficas de las funciones f(x)=9-x2 y g(x)=x2, señala0 y calcula el área entre ambas curvas y las rectas verticales x=0 y x=2

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Parte 2. La integral como modelo matemático

1. Si s(t) representa la función de posición de un móvil en el instante t, ¿qué representa su derivada s’(t)?

La velocidad instantánea

1. Si v(t) representa la función de velocidad de un móvil en el instante t, ¿qué representa su derivada v’(t)?

Velocidad recorrida

1.  Con base en sus respuestas anteriores y de acuerdo con el concepto de antiderivada o integral, responde ¿qué representa la integral de la función de aceleración a(t)? ¿qué representa la integral de la función de velocidad v(t)?

La aceleración

1. Si C(x) es la función de costo, I(x) es la función de ingreso y U(x) es la función de utilidades, ¿qué representa la integral de la función de costo marginal? ¿qué representa la integral de la función de ingreso marginal? ¿qué representa la integral de la función de utilidad marginal?  

El costo marginal es la derivada de la función de costo.

La función de ingreso R(x), es la integral de la función de ingreso marginal

1. Si C’(x), I’(x), y U’(x) denotan las funciones de costo marginal, ingreso marginal y utilidad marginal, respectivamente; y el nivel de producción y venta se incrementa de “a” a “b” unidades, ¿qué representan las siguientes integrales definidas?

 Incremento en el costo[pic 20]

  Incremento en el ingreso[pic 21]

 Incremento en utilidades[pic 22]

1. Con base en las respuestas anteriores, resuelve el siguiente ejercicio:

El costo marginal que emplea un fabricante de pernos está dado por C’(x)=500-0.06x y el costo fijo es $180. Determina la función de costo total.

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1. Una compañía manufacturera sabe que la función del ingreso marginal de un producto es I’(x) se cuantifica en pesos y “x” es el número de unidades. Determina:

1. La función de ingreso.

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1. Los ingresos totales obtenidos al vender 800 unidades del producto.

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1. El cambio en el ingreso cuando el nivel de ventas incrementa de 400 a 600 unidades.

X1=400        [pic 29]

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