Teorema Fundamental Del Calculo

Teorema fundamental del cálculo

Figura 1. Derivación

Figura 1. Integración

Cuando uno llega por primera vez al inicio de este teorema ya a intuido una relación entre el calculo diferencial e integral. Uno creería que no hay relación ya que como el primero es pendiente de la recta tangente y el segundo área bajo la curva. Pero de hecho hay una relación muy intima, que fue descubierta independientemente por Isaac Newton (1630-1677) y Gottfried Leibniz (1646-1716) el cual recibe el nombre del teorema fundamental del cálculo. En particular, ellos advirtieron que que el teorema fundamental les permitía calcular con gran facilidad áreas e integrales, sin tener que calcularlas como límites de sumas. Informalmente se puede decir también que el teorema afirma que la derivación y la integración con operaciones mutuamente inversas.

Para ver cómo Newton y Leibniz se dieron cuenta de ello, consideremos la aproximaciones que se muestran en la figura 1 y la figura 2. Cuando se define la pendiente de la recta tangente, utilizamos el cociente ΔyΔx (Pendiente de la recta secante). Análogamente, al definir el área de un región bajo una curva, usamos el producto ΔyΔx (Área de un rectángulo). Así pues, es su primer paso derivación e integración son operaciones inversas ( División y Multiplicación). El teorema fundamental del Cálculo establece que el proceso de límite usado para definir ambas operaciones preserva esa relación inicial de inversas.

Contenido

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• 1 El Teorema Fundamental del Cálculo

• 2 Demostración Teorema Fundamental del Cálculo

o 2.1 Teorema Fundamental del Cálculo, Primera Parte

o 2.2 Teorema Fundamental del Cálculo, Segunda Parte

• 3 Ejemplos

o 3.1 Ejemplo 1

o 3.2 Ejemplo 2

o 3.3 Ejemplo 3

o 3.4 Ejemplo 4

o 3.5 Ejemplo 5

o 3.6 Ejemplo 6

o 3.7 Ejemplo 7

o 3.8 Ejemplo 8

o 3.9 Ejemplo 9

o 3.10 Aplicación

• 4 Busca mas temas

El Teorema Fundamental del Cálculo

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y F es una primitiva de f en [a,b], entonces

∫baf(x)dx=F(b)−F(a)

Demostración Teorema Fundamental del Cálculo

Teorema Fundamental del Cálculo, Primera Parte

Si es continua en , la función esta definida por:

es continua en

y derivable en:

y

DEMOSTRACIÓN

Si y están en , entonces:

Ecuación 2

y así, cuando ,

suponemos que

,

Dado es continua

Usando el teorema del Valor Extremo dice que hay números, y en , tales que y , en donde y son los valores mínimo y máximo absolutos de en .

De acuerdo con la propiedad 8 de Integrales,

es decir,

como , podemos dividir esta desigualdad entre :

Ahora emplearemos la ecuación 2 y uniéndola con la ecuación anterior obtendremos:

Ecuación 3

Ahora hacemos que

.

Entonces:

y

.

Como y existen entre y , decimos que:

Debido a que f es continua en x, Usando la ecuación 3 y la ley de extremos y medios llegamos a la conclusión de que:

Ecuación 4

Si , podemos decir que es un limite unilateral. Si es diferenciable en , entonces es continua en , modificado para limites unilaterales podemos decir que es continua en

Usando la notación de Leibniz para las derivadas, escribimos el Teorema Fundamental del Calculo, 1era Parte de la forma:

.

Teorema Fundamental del Cálculo, Segunda Parte

Si es continua en , entonces:

en donde es cualquier antiderivada de , esto es, .

Sea

Sabemos que

Si es cualquier antiderivada de en , donde F y g difieren en una constante.

Decimos que :

Ejemplos

Ejemplo 1

Determine

SOLUCION

Utilizando la regla de la cadena y el

...