Teorema fundamental del cálculo integral

Teorema fundamental del cálculo integral

El teorema fundamental del cálculo integral consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la antiderivada de la función al ser integrada.

Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.

Intuición geométrica

El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h.

Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego deduciendo el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A(x+h) − A(x).

Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.

Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) • h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)•h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.

Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.

Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

Los teoremas fundamentales del cálculo integral

Dada una función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por con fijo. El teorema dice que si f es continua en , entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c).

Demostración

Lema importante

Sea f integrable sobre [a,b] y

Entonces

Demostración

Hipótesis:

Sea .

Sea f función integrable sobre el intervalo [a,b] y continua en c.

Sea F una función sobre [a,b] definida así: con

Tesis:

F'(c)=f(c)

Por definición se tiene que .

Sea h>0. Entonces .

Se define mh y Mh como:

,

Aplicando el 'lema' se observa que

.

Por lo tanto,

Sea h < 0. Sean

,

.

Aplicando el 'lema' se observa que

.

Como

,

entonces

.

Puesto que h < 0, se tiene que

.

Y como f es continua en c se tiene que

,

y esto lleva a que

.

Ejemplos

Segundo teorema fundamental

También se le llama Regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow ó Regla de Newton - Leibniz.

Dada una función f continua en el intervalo [a,b] y sea g cualquier función primitiva de f, es decir g'(x)=f(x) para todo , entonces:

Este teorema se usa frecuentemente para evaluar integrales definidas.

Demostración

Hipótesis:

Sea f una función continua en el intervalo [a,b]

Sea g una función diferenciable en el intervalo [a,b] tal que

Tesis:

Demostración:

Sea

.

Tenemos por el primer teorema fundamental del cálculo que:

.

Por lo tanto,

tal que .

Observamos que

0 = F(a) = g(a) + c

y de eso se sigue que c = − g(a); por lo tanto,

F(x) = g(x) − g(a).

Y en particular si x = b tenemos que:

C.L.QQ.Q.D.

Ejemplos

como se puede integrar inmediatamente

1. Introducción

En el presente trabajo, se detallarán las características de las diferentes funciones matemáticas y sus aplicaciones sobre las distintas ciencias y la vida cotidiana.

Las funciones a las que nos dedicaremos son las siguientes:

Función Trigonométrica

Función Cuadrática

Función Afín (Lineal)

Función Logarítmica

Función Exponencial

Función Polinómica

El principal objetivo de esta monografía es poder entender el uso de las funciones y así poder utilizarlas frente a los problemas diarios. El método de investigación es la consulta bibliográfica y el análisis de la misma.

2. Funciones

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".

Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A à B

Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:

Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.

La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.

El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.

Observaciones:

En una función f: Aà B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B.

Un elemento y E B puede:

No ser imagen de ningún elemento x E A

Ser imagen de un elemento x E A

Ser imagen de varios elementos x E A.

La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función.

Formas de expresión de una función

Mediante el uso de tablas:

X Y

-1

0

½

1

2 1

0

¼

1

4

Gráficamente: cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real de variable real al conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejes cartesianos ortogonales tienen coordenadas [x, f (x)] donde x E A

3. Aplicaciones de las funciones reales

Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".

Función Afín

Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la

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