TEOREMAS DEL VALOR MEDIO

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO

 Teorema de Rolle

Si f (x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y si f (a)  f (b) , entonces existe algún

punto c  (a, b) tal que f ´(c)  0.

 Interpretación geométrica: existe un punto al menos de ese intervalo, en el que la

tangente a la curva es horizontal.

En ese punto c (en alguno de ellos si hay varios) se da el máximo o el mínimo de f (x) en ese

intervalo.

Ejemplos:

 La función ( ) 2 2 f x  x  x  verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo

[2, 1], pues:

 es continua y derivable en todo R; en particular en el intervalo [2, 1].

 f (2)  4 y f (1)  4. Esto es, toma el mismo valor en los extremos del intervalo.

En consecuencia, existe un punto c  (2, 1) en el que su derivada vale 0: f ´(x)  2x 1  0

 x  1/ 2. Este es el valor c que asegura el teorema.

 La función f (x) 1 x no satisface las condiciones del teorema de

Rolle en el intervalo [1, 1], pues no es derivable en el punto x = 0 de

ese intervalo.

 Teorema del valor medio (Lagrange)

Si f (x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe algún punto c  (a, b) tal

que ´( )

( ) ( )

f c

b a

f b f a







.

 Interpretación geométrica: existe un punto perteneciente al

intervalo en el que la tangente a f (x) es paralela a la secante

que pasa por los puntos de abscisa a y b.

De otro modo: existe un punto del intervalo en el que la tasa

de variación instantánea coincide con la tasa de variación

media de todo el intervalo.

 Interpretación física: si se realiza un trayecto a velocidad media v, en algún instante de

ese trayecto se ha llevado esa velocidad v.

a c b a c b a c b

Matemáticas II Teoremas del valor medio y regla de L´Hôpital

José María Martínez Mediano

2

Ejemplo:

 La función f (x) x 6x 3   es continua y derivable en el intervalo [2, 1]   c, 2 < c <

1 tal que ´( )

1 ( 2)

(1) ( 2)

f c

f f



 

 

.

En efecto: 3 6

1 ( 2)

5 4 2  

 

 

x  3 3 6 2   x   1 2 x   x = 1, x = 1.

El valor que cumple el teorema es x = 1, el número que pertenece a (2, 1)

 Diversas formas de expresión del teorema

De ´( )

( ) ( )

f c

b a

f b f a







 f (b)  f (a)  f ´(c)(b  a)

Si se toma x  (a, b) puede escribirse: f (x)  f (a)  f ´(c)(x  a) , con c  (a, x)

Si se hace b = a + h, se tendrá: f (a  h)  f (a)  h·f ´(c) , c  (a, a + h)

Si se toma x = a + h, se tendrá: f (x)  f (a)  h·f ´(a  h) , 0 <  < 1, c  (a, x)

Ejemplo:

 Aplicamos el teorema de los incrementos finitos al cálculo aproximado de 102 .

Si se toma f (x)  x , para x = 102, a = 100 y h = 2, se tiene:

f (102)  f (100)  2·f ´(100  2) 

 

 

2 100 2

1

102 100 2· , pues

x

f x

2

1

´( ) 

Como 0,05

20

1

2 100

1

2 100 2

1

´(100 2 )   

 

f    , el valor aproximado pedido será:

 

 

2 100 2

1

102 100 2·  10 + 2 · 0,05 = 10,1

...