Sección 5.1: Extremos y teorema del valor medio Análisis de gráfica

Sección 5.1: Extremos y teorema del valor medio

Análisis de gráfica

Definiciones:

Sea c un número que pertenece al dominio de una función [pic 1]

1.  es el valor máximo absoluto (global) de  en   si  para toda  [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

1.  es el valor mínimo absoluto (global) de  en   si  para toda  [pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

1.  es el valor máximo relativo (local) de  en   si  cuando x está cerca de c[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

1.  es el valor mínimo relativo (local) de  en   si  cuando x está cerca de c[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

Ejemplo #1:  Sea  definida en [pic 20][pic 21]

Ejemplo #2:  [pic 22]

Definiciones:

I – Si  es continua en [a, b] entonces  tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en [a, b][pic 23][pic 24]

II – Si  tiene máximo o mínimo local en   y si  existe entonces [pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

III – Un número crítico de  es un número  en el dominio de  tal que   o   no existe.[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

IV - Si  tiene máximo o mínimo local en   entonces c es un número crítico de [pic 34][pic 35][pic 36]

Hallar puntos críticos, coordenadas  de extremos y trazar la gráfica de cada función:

Ejemplo #3:  [pic 37]

Ejemplo #4:     en [0, [pic 38][pic 39]

Teoremas importantes

Teorema de Fermat: Si  tiene un valor extemo en  y  entonces  [pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

Ejemplo #1

Sea . Encuentre el o los valores de c que satisfacen el teorema.[pic 44]

Ejemplo #2

Sea  definida en . Encuentre el o los valores de c que satisfacen el teorema.[pic 45][pic 46]

Teorema del valor medio

Sea  una función que satisface las siguientes condiciones:[pic 47]

1.  es continua en [a, b][pic 48]
2.  es diferenciable en (a, b) [pic 49]

Entonces existe un número c en (a, b) tal que [pic 50]

Ejemplo #3

Sea  definida en [-2, 2]. Verifique que la función satisfaga las condiciones del Teorema del valor medio y encuentre todos los valores de c que satisfacen el teorema.[pic 51]

Ejemplo #4

Sea definida en [1, 3]. Verifique que la función satisfaga las condiciones del Teorema del valor medio y encuentre todos los valores de c que satisfacen el teorema.[pic 52]

Sección 4.2 y 4.3  Funciones monotónicas, puntos críticos, concavidad, puntos de inflexión y gráficas.

Primera derivada

Si  entonces [pic 53][pic 54]

Si  entonces [pic 55][pic 56]

Prueba de la primera derivada

Sea c un número crítico de una función continua .[pic 57]

1. Si   entonces tiene un máximo local en c.[pic 58][pic 59]
2. Si   entonces tiene un mínimo local en c.[pic 60][pic 61]
3. Si   entonces  no tiene ni máximo ni mínimo local en c.[pic 62][pic 63]

Ejemplo #1: Determine para cada función los valores críticos, donde es creciente, donde es decreciente, máximos y mínimos locales.

1. [pic 64]

Segunda derivada

Si  entonces [pic 65][pic 66]

Si  entonces [pic 67][pic 68]

Los puntos donde la gráfica de  cambia de concavidad se llaman puntos de inflexión.[pic 69]

Ejemplo #2: Determine para cada función, donde es cóncava hacia arriba, donde es cóncava hacia abajo, puntos de inflexión y trace la gráfica.

1. [pic 70]

1.   en [0, [pic 71][pic 72]

1. [pic 73]

Prueba de la segunda derivada:

Sea [pic 74] una función tal que [pic 75] y la segunda derivada de [pic 76] existe en un intervalo abierto que contiene a [pic 77]

1. Si [pic 78], entonces [pic 79] tiene un máximo relativo en [pic 80].
2. Si [pic 81], entonces [pic 82] tiene un mínimo relativo en [pic 83].

1. Si [pic 84], entonces el criterio falla. Esto es, [pic 85] quizás tenga un máximo relativo en [pic 86], un mínimo relativo en [pic 87] o ninguno de los dos.

Ejemplo #3: Use la prueba de la segunda derivada para hallar los valores extremos de [pic 88]

Ejemplo #4: Trace una posible gráfica para la función  que satisfaga las siguientes condiciones;[pic 89]

, [pic 90][pic 91]

...