TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Universidad Técnica Federico Santa María

Departamento de Matemática

Matemática I (Mat-021)

Problemas Resueltos

Teorema del Valor Medio (TVM)

eleazar.madariaga@alumnos.usm.cl

Dificultad:

: Simple

: Intermedio

: Desafiante

: Nivel Certamen UTFSM

El teorema del valor medio, conocido también como teorema de Lagrange, es una generalización del teorema de Rolle. En este teorema se elimina la hipótesis (que aparece en el teorema de Rolle) de que los valores de la función en los extremos del intervalo sean iguales.

Teorema del valor medio (Lagrange)

Sea una función continua en el intervalo compacto y derivable en el intervalo abierto . Entonces existe un punto tal que

Problema nº 1:

Verifique el TVM con la función en el intervalo .

Solución:

La función considerada es polinomial y por lo tanto las condiciones de continuidad y derivabilidad se cumplen automáticamente. El TVM asegura que debe existir un en el que la derivada sea igual a:

Teorema del valor medio / Mat-021 Página 1

Eleazar Madariaga - UTFSM

Como , en el punto debe ocurrir que

De donde

Este es el punto cuya existencia asegura el TVM.

Problema nº 2:

Verifique el TVM con la función en el intervalo .

Solución:

La función dada es continua en y derivable en , ya que es un producto de funciones con tales características. El TVM asegura que existe un en el que la derivada debe ser igual a:

Como , en el punto debe ocurrir que

De donde

Problema nº 3:

Verifique que para cualquier función cuadrática en un intervalo , el punto cuya existencia asegura el TVM, es el punto medio del intervalo .

Teorema del valor medio / Mat-021 Página 2

Eleazar Madariaga - UTFSM

Solución:

El TVM asegura la existencia de un punto (usamos la letra mayúscula para no confundirla con el termino independiente de la expresión que define a la función ), en el que

Como , el punto debe ser tal que:

De modo que

Obtenemos

Es decir, el punto cuya existencia en el intervalo asegura el TVM

es justamente el punto medio del intervalo.

Problema nº 4:

Un automóvil pasó por la caseta A a las 10:00 hrs y por la caseta B, la cual se encuentra a 175 km de A, a las 11:30 hrs. En la caseta B se presento un oficial de transito con el automovilista y le dijo: “Señor, usted sabe que la velocidad máxima permitida en esta carretera es de 95 km/hr y usted excedió tal velocidad, por lo tanto tendré que levantarle una infracción”.

¿En que se basa el oficial para hacer tal afirmación al automovilista?

Teorema del valor medio / Mat-021 Página 3

Eleazar Madariaga - UTFSM

Solución:

Llamemos ! a la ley de movimiento del automóvil, con en kilómetros y ! en horas, Supongamos que esta función es continua y derivable para ! " .

Lo que hizo el oficial para poder asegurarle al conductor del automóvil que había excedido el límite de velocidad fue enterarse a que horas había pasado el automóvil por la caseta A. Entonces, al saber el momento en el que arranco de la caseta A rumbo a la caseta B y el tiempo que tardo en hacer este recorrido, simplemente aplicó el TVM a la ley de movimiento

! en el intervalo , tomando como

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