TRABAJO MONOGRÁFICO CORTES DE DEDEKIND

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA

ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA

[pic 1]

TRABAJO MONOGRÁFICO

CORTES DE DEDEKIND

PRESENTADO POR

Faviana Alexandra Aldana Atahue

Ivan Joel Romero Chero

Carlos Cortez Sabrera

Jhon Anthony Suazo Valderrama

Angel de Jesús Esquen Gonzales

Cristopher Gary Najarro Avalos

BELLAVISTA- CALLAO

2019

DEDICATORIA

Para el profesor Castillo Valdivieso,        Absalon   y para todos nuestros compañeros.

AGRADECIMIENTO

Agradecemos a la Universidad Nacional del   Callao por facilitarnos la información necesaria para realizar el presente trabajo de                       investigación.

RESUMEN

     En matemáticas , los cortes de Dedekind , llamado así por el matemático alemán Ri-chard  Dedekind , son а método de construcción de los números reales de los números racionales .   Un corte Dedekind es una partición de los números racionales en dos no vacíos conjuntos A y B , de manera que todos los elementos de A son menos de todos los elementos de B , y A no contiene   elemento más grande . El conjunto B puede o no tener un elemento más            pequeño entre los racionales. Si B tiene un elemento más pequeño entre los racionales, el             corte se corresponde con la racional.     De lo contrario, ese corte define un número irracional único que, hablando en términos generales,   se llena la "brecha" entre A y  B . En otras                palabras, A contiene cada número racional menor que la del corte, y B contiene cada número racional mayor que o igual a la de corte. Un corte irracional se equipara a un número                        irracional que se encuentra en ninguno de los conjuntos. Cada número real,  racional o no,          se equipara a una y sólo una corte de los racionales.

    Cortes de Dedekind se pueden generalizar a partir de los números racionales para                     cualquier conjunto ordenado totalmente mediante la definición de un Dedekind cortó como      una partición de un   totalmente ordenado configurar en dos partes no vacíos A y B , de tal         manera que A está cerrado hacia abajo (lo que significa que para todos una en a , x ≤ un impli-ca que x está en a también) y B    está cerrado hacia arriba, y a no contiene ningún elemento más grande. Véase también lo completo (teoría de la orden) .

    Es fácil demostrar que un Dedekind cortó entre los números reales se define únicame-nte  por el correspondiente corte entre los números racionales.

Del mismo modo, cada corte de reales es idéntica a la corte producido por un número real específico (que puede ser identificado como el elemento más pequeño de la B set).

En otras palabras, la línea de números donde cada número real se define como un corte Dedekind de los racionales es una  completa serie continua sin huecos adicionales.

INTRODUCCIÓN

El  interés que da fruto a este trabajo se debe a que nosotros pensábamos que conocíamos todos los números reales, pero sin duda estábamos completamente equivocados, es más ni siquiera sabíamos su origen.

Con el comienzo de nuestra vida universitaria, nuestra visión fue ampliándose más y más es por eso que puedo afirmar que gracias a esa guía se nos abrieron numerosas puertas al conocimiento  matemáticos.

 Es por eso que consideramos que el estudio a fondo del origen de los reales dada por Dedekind es muy importante para mí, como para todos nosotros, pues nos muestra el origen de esta y de la misma forma para todos nosotros, porqué los números ya forman parte no solo de nuestras vida, sino la de todos.    

ÍNDICE

Dedicatoria        ii

Agradecimientos        iii

Resumen        iv

Introducción        vi

CAPÍTULO I: CORTES DE DEDEKIND        1

1.1 Aclaraciones ..........................................................................................................1

1.2 Definición        2

1.3 Ejemplos        2

CAPÍTULO II: RELACIÓN DE ORDEN        4

2.1 Inclución de Cortaduras         4

2.2 Definición        4

2.3 Acotación inferior………………………………………………………………..5

     2.3.1 Teorema…………………………………………………………………….5

     2.3.2 Demostración……………………………………………………………….5

CAPITULO III: OPERACIONES DE CORTADURA………………………………..7

             3.1 Suma de cortaduras……………………………………………………………....7

             3.2 Producto de cortaduras no negativas…………………………………………….8

             3.3 Producto de cortaduras cuales quiera…………………………………………..10

CONCLUSIONES        12

FUENTES DE INFORMACIÓN        13

CAPITULO I

CORTADURAS DE DEDEKIND

1. ACLARACIONES

Desde el punto de vista axiomático el único objeto de la teoría de las cortaduras es construir un ejemplo de cuerpo ordenado completo. El ciclo se cierra al probar que cualquier cuerpo ordenado completo es isomorfo al cuerpo de las cortaduras. En la evolución de esta teoría se distinguen tres etapas: la primera es, cada número real produce una cortadura; la cortadura define al número y éste determina a la primera. La segunda etapa es cada número real es una cortadura. La tercera etapa es, las cortaduras sirven para probar que la noción de cuerpo ordenado completo es consistente con la aritmética de los números racionales.

Suponemos conocidas las propiedades del cuerpo ordenado de los números racionales, al que denotamos por Q. Entre las que nos harán falta destacamos la densidad, entre dos números racionales distintos se encuentra siempre otro número racional, y la arquimedianidad, para cualquier número racional positivo r existe un entero positivo n tal que [pic 2]. En lo que sigue la palabra número es sinónimo de número racional.

1. DEFINICIÓN

Llamamos cortadura a un conjunto (o clase) de números racionales que satisfaga las siguientes propiedades:

1. [pic 3] y [pic 4]; es decir, es un subconjunto propio de Q;
2. Si [pic 5] y [pic 6], entonces [pic 7]; es decir, todo número mayor que un elemento de [pic 8] pertenece también a [pic 9];
3. [pic 10] no tiene mínimo.

La clase complementaria [pic 11] formada por los números racionales que no pertenecen a [pic 12] posee entonces la siguiente propiedad:

Si [pic 13] y  [pic 14] , entonces [pic 15]; en efecto, si fuera [pic 16], en virtud de (2) se tendría [pic 17].

1. EJEMPLOS

1. Para cada número [pic 18], el conjunto de los números mayores que [pic 19] es una cortadura que denotamos por [pic 20]. En particular, [pic 21] está formada por los números positivos y [pic 22] por los números mayores que [pic 23].
2. Denotemos por [pic 24] el conjunto de los racionales positivos que verifican [pic 25]. Es claro que cualquiera de estos números es mayor que 1 y que si [pic 26] , la relación [pic 27] implica [pic 28]. También es claro que [pic 29] no es vacía y que tampoco lo es la clase complementaria [pic 30] (ésta contiene al número 1 y a todos los números negativos). Para probar que [pic 31] es una cortadura sólo faltaría mostrar que no tiene mínimo. Dado [pic 32] , si [pic 33], entonces tendremos [pic 34] y además: [pic 35] , y el último número es mayor que 2 siempre que se cumpla [pic 36] . Ahora bien, un número [pic 37] entre 0 y 1 que cumpla la última condición es, por ejemplo, [pic 38]

Este número verifica las condiciones que se requieren para que [pic 39] pertenezca a [pic 40], a saber: [pic 41] y [pic 42] 

Hemos probado que [pic 43] es una cortadura. Sin embargo, esta cortadura difiere de las del ejemplo anterior en el hecho de que su clase complementaria [pic 44] no tiene máximo. En efecto, sea r un número positivo que verifica [pic 45]. Entonces podemos hallar un número [pic 46] entre 0 y 1 que verifique [pic 47].

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