Tendencia Central

Resumen

Supóngase que un determinado alumno obtiene 35 puntos en una prueba de matemática. Este puntaje, por sí mismo tiene muy poco significado a menos que podamos conocer el total de puntos que obtiene una persona promedio al participar en esa prueba, saber cuál es la calificación menor y mayor que se obtiene, y cuán variadas son esas calificaciones.

En otras palabras, para que una calificación tenga significado hay que contar con elementos de referencia generalmente relacionados con ciertos criterios estadísticos.

Las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba.

Volviendo a nuestro ejemplo, digamos que la calificación promedio en la prueba que hizo el alumno fue de 20 puntos. Con este dato podemos decir que la calificación del alumno se ubica notablemente sobre el promedio. Pero si la calificación promedio fue de 65 puntos, entonces la conclusión sería muy diferente, debido a que se ubicaría muy por debajo del promedio de la clase.

En resumen, el propósito de las medidas de tendencia central es:

Mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo.

Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con el puntaje central o típico.

Sirve como un método para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones.

Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más grupos.

Las medidas de tendencia central más comunes son:

La media aritmética: comúnmente conocida como media o promedio. Se representa por medio de una letra M o por una X con una línea en la parte superior.

La mediana: la cual es el puntaje que se ubica en el centro de una distribución. Se representa como Md.

La moda: que es el puntaje que se presenta con mayor frecuencia en una distribución. Se representa Mo.

De estas tres medidas de tendencia central, la media es reconocida como la mejor y más útil. Sin embargo, cuando en una distribución se presentan casos cuyos puntajes son muy bajos o muy altos respecto al resto del grupo, es recomendable utilizar la mediana o la moda. (Porque dadas las características de la media, esta es afectada por los valores extremos).

La media es considerada como la mejor medida de tendencia central, por las siguientes razones:

Los puntajes contribuyen de manera proporcional al hacer el cómputo de la media.

Es la medida de tendencia central más conocida y utilizada.

Las medias de dos o más distribuciones pueden ser fácilmente promediadas mientras que las medianas y las modas de las distribuciones no se promedian.

La media se utiliza en procesos y técnicas estadísticas más complejas mientras que la mediana y la moda en muy pocos casos.

Estadígrafos de tendencia central

Los estadígrafos de tendencia central que estudiaremos son la media, la mediana y la moda.

Estos estadígrafos nos dan alguna idea de los datos que estamos estudiando.

1. Media aritmética

La media aritmética también se llama “media” o “promedio aritmético” y es lo que siempre has ocupado para calcular el promedio de notas.

La media aritmética se calcula dependiendo de cómo vengan los datos, pero en general es la suma de los datos dividida por el número de datos.

1.1. Media aritmética de datos no agrupados

La media de n datos corresponde al resultado de la expresión:

Ejemplo:

Pedrito ha obtenido las siguientes notas en Ciencias:

6,0 – 5,8 – 7 – 6,8 – 5,6

Su media aritmética o promedio es:

, lo que se redondea al décimo como 6,2.

1.2. Media de datos dados en una tabla de frecuencia

En este caso se debe multiplicar cada dato con su respectiva frecuencia, sumar todos estos productos, y el resultado dividirlo por la suma de los datos, esto es:

Ejemplo:

Se ha lanzado un dado 40 veces obteniéndose los siguientes resultados:

Por lo tanto su media es:

1.3. Media de datos agrupados en intervalos

Se define la marca de clase de un intervalo como la media aritmética entre los extremos de él.

Si llamamos a la marca de clase de un intervalo: , entonces la media de un conjunto de datos agrupados en intervalos es:

Ejemplo:

La distribución de edades de un conjunto de 50 personas está representada en el siguiente gráfico:

La media de este conjunto de datos es:

años, aproximadamente.

1.4. Media ponderada de datos

En algunas oportunidades los datos no tienen la misma importancia, de modo que cada dato se multiplica por un factor, el cual indica el grado de importancia que tiene en la muestra; en este caso la media se calcula con la expresión:

donde pi es un factor del dato xi, el cual viene dado en la situación planteada en el problema.

Ejemplo:

Un alumno tiene nota 5,0 como promedio de controles que vale un 80% de la nota final y obtiene un 6,0 en el examen. ¿Cuál es su promedio final?

En este caso el dato 5,0 tiene un factor de 0,8 (80%) y el dato 6,0 tiene un factor de 0,2 (20%), por lo tanto su media es:

1.5. Propiedades de la media

Sean los n datos: x1, x2, x3, x4,...xn, con media . Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1. La suma de los datos corresponde al producto: . Es decir, la suma de los datos se puede determinar multiplicando la media con el número de datos.

2. Si a cada uno de los datos se le suma (o resta) una cantidad “a”, la media aritmética será .

3. Si a cada uno de los datos se le multiplica por una cantidad “a”, la media aritmética será .

Ejemplo:

Un colegio tiene tres cuartos medios que en el último ensayo de Lenguaje obtuvieron los siguientes puntajes promedio:

Ocupando la propiedad 1: la suma de los puntajes del 4° A es la multiplicación del promedio con el número de alumnos, esto es:

Suma = 20 . 650 = 13.000

Por lo tanto, la suma de todos los puntajes de los alumnos es:

20 . 650 + 30 . 600 + 25 . 580 = 45.500

Así, la media aritmética de los tres cursos es:

Ejemplo:

La media aritmética de las edades de tres hermanos es 25 años. ¿Cuál será su media en tres años?

Dada la propiedad 2, la media aritmética será 28 años.

2. Mediana

Si los datos se ordenan en sentido creciente o decreciente, la mediana indica el dato que se ubica al centro de ellos.

Si el número de datos “n” es un número impar, entonces la mediana es el dato:

Si el número de datos “n” es un número par, entonces la mediana es la media aritmética entre los datos: y .

Las fórmulas anteriores las puedes obviar si tienes en cuenta que la mediana es el término central en el caso que este sea uno, o bien la media de los términos centrales en el caso que sean dos.

Ejemplo 1:

Las alturas de 6 integrantes de un equipo de básquetbol (en cm) son las siguientes: 182 – 175 – 181 – 182 – 178 – 183. ¿Cuál es la mediana?

Primero ordenemos los datos de menor a mayor (o al revés):

175 – 178 – 181 – 182 – 182 – 183.

Como hay dos datos centrales, se calcula la media de ambos datos:

Ejemplo 2:

Se ha consultado la edad a treinta trabajadores de una empresa, obteniendo los siguientes resultados:

La suma de las frecuencias es 30, por lo tanto, es un número par de datos; la mediana es la media entre el dato de lugar 15 y el de lugar 16; el dato de lugar 15 es 23 y el de lugar 16 es 27, por lo tanto:

3. Moda

La moda es el dato que más se repite, es decir, el que tiene mayor frecuencia.

Volviendo al ejemplo 1:

Las alturas eran: 182 – 175 – 181 – 182 – 178 – 183; por lo tanto la moda es 182, ya que es el dato que más se repite.

En el ejemplo 2:

La moda es 23, ya que tiene mayor frecuencia.

Hay veces que los datos no tienen moda. Por ejemplo, si los datos fueran:

185 – 188 – 183 – 178 – 177, no hay un dato que tenga mayor frecuencia que los otros.

Hay otras distribuciones que pueden tener más de una moda:

Por ejemplo:

La moda es 16 y 20; y en este caso se habla de una distribución bimodal.

Ejercicios de aplicación

Pregunta 01

Dados los pesos de 10 niños: 42 kg, 38 kg, 46 kg, 40 kg, 43 kg, 48 kg, 45 kg, 43 kg, 41 kg y 39 kg. ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s) ?

I) La moda de la distribución es 43 kg.

II) El promedio es menor que 43 kg.

III) La mediana coincide con la moda.

Alternativas

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

Tema: Medidas de tendencia central

Comentario

Para determinar el valor de verdad de la primera afirmación se debe recordar que la moda de un conjunto de números es el valor que ocurre con mayor frecuencia. En este caso, se observa que el 43 es el valor que se repite dos veces y pasa a ser

el más frecuente, por lo tanto, la afirmación es verdadera.

Para determinar el valor de verdad de la segunda afirmación

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