Teorema De Los Residuos.

Teorema de los residuos.

Aplicaciones.

9.1 INTRODUCCIO´ N

Del teorema de los residuos puede decirse que es la culminaci´on de lo que hemos

encuadrado bajo el nombre gen´erico de ‘teor´ıa global de Cauchy’. Incorpora y

extiende al teorema de Cauchy y a la f´ormula de Cauchy, y tiene innumerables

consecuencias te´oricas y pr´acticas. De ´estas apuntamos su uso para calcular integrales

reales y sumas de series, limit´andonos a se˜nalar referencias donde encontrar

el tema desarrollado en detalle.

La primera aplicaci´on te´orica que presentamos se refiere a la localizaci´on

de ceros, en la que tratamos de averiguar el n´umero de ceros de una funci´on en

un subconjunto de su dominio. Los resultados b´asicos en esta direcci´on son el

denominado principio del argumento y el teorema de Rouch´e.

De aqu´ı pasamos al estudio del comportamiento local de una funci´on anal´ıtica,

viendo su analog´ıa con el de la funci´on zm en torno al 0, en el sentido que se

precisa en el texto. Deducimos el teorema de la aplicaci´on abierta y alguna de

sus aplicaciones, y finalizamos el cap´ıtulo con una versi´on global y otra local del

teorema de la funci´on inversa, llegando a una representaci´on integral de esta inversa

que nos permite obtener expresiones interesantes de su desarrollo en serie de Taylor.

Referencias b´asicas:

— Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New

York (1978).

— Mitrinovi´c, D. S.: Calculus of Residues. Noordhoff, Groningen (1966).

— Palka, B. P.: An Introduction to Complex Function Theory. Springer, New

York (1991).

— Rudin, W.: An´alisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana,

Madrid (1987).

134

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 135

9.2 PRO´ LOGO: RESIDUOS

Agazapada en el teorema de Laurent hay una informaci´on importante. Por lo que

vimos en su demostraci´on, se deduce que si f tiene una singularidad aislada en a,

γ

f (z) dz = 2πi a−1,

donde a−1 es el coeficiente de (z − a)

−1 en el desarrollo en serie de Laurent de

f y γ = ∂D(a; r ), r adecuado. Este coeficiente (salvo el factor habitual 2πi )

es, pues, “el ´unico vestigio”, el residuo que deja la funci´on al ser integrada sobre

una “peque˜na” circunferencia centrada en a. Vamos a asignarle oficialmente este

nombre.

Definici´on 9.1. Sea a ∈ C una singularidad aislada de una funci´on f . Recibe el

nombre de residuo de f en a el coeficiente de 1/(z − a) en el desarrollo en serie

de Laurent de f en el punto a, de manera que si

f (z) =

∞

n=−∞

an(z − a)n, z ∈ D(a; 0, R),

y denotamos con Res( f ; a) el residuo de f en a, es

Res( f ; a) = a−1.

En el punto del infinito la definici´on es ligeramente distinta:

Sea f una funci´on con una singularidad aislada en∞, y sea

f (z) =

∞

n=−∞

an zn

su desarrollo en serie de Laurent en una corona D(0; R,+∞). Llamaremos

residuo de f en el infinito al n´umero

Res( f;∞) = −a−1

(coeficiente de 1/z en el desarrollo, cambiado de signo).

¿Qu´e hace merecedor de un nombre especial a este coeficiente? De momento,

sabemos que su valor es lo ´unico que necesitamos conocer a la hora de calcular la

integral de f sobre la circunferencia γ . Pero con este punto de partida y un poco de

i

–i

–2 –1 1 2

136 Teorema de los residuos. Aplicaciones.

ingenio podemos servirnos de los residuos para calcular integrales en situaciones

m´as complicadas.

Supongamos, por ejemplo, que nos proponemos calcular una integral como



Log(z + 2) z3 ctg πz

(1 − cos 2πz) (z2 + 1)

dz,

donde  es el ciclo contenido en  = D(0; 2) formado por los caminos que se

indican en la figura.

Horrible, ¿no es cierto? “¿Qu´e

es lo mejor que podemos hacer para

resolver este problema? Dejarlo e

inventar otro”, como recomienda el

“profesor tradicional de matem´aticas”

en el retrato que de ´el hace P´olya.

Vamos a ello.

Seg´un hemos se˜nalado antes, tras

calcular los residuos en los puntos

z1 = 1, z2 = i , z3 = −1, z4 = −i

de la funci´on f (z) a integrar, tarea

no extremadamente dif´ıcil, ser´ıamos

capaces de hallar la integral en el caso m´as sencillo de que  constase de una

circunferencia γ o

j

= ∂D(zj ; rj ) alrededor de uno de los puntos zj, suficientemente

peque˜na para que el disco cerrado D(zj ; rj ) quede dentro de  y no incluya a

ninguno de los restantes puntos zk , k = j , obteniendo entonces

γ o

j

f (z) dz = 2πi Res( f ; zj ).

Pero ´esto ¿de qu´e sirve? De mucho . . . cuando caemos en la cuenta de que el

teorema homol´ogico de Cauchy permite sustituir oportunamente el ciclo original

 por otro ciclo formado por circunferencias, con tal de que ambos sean hom´ologos

respecto de un abierto en el que f sea holomorfa. Notando que

Ind(z1) = 1, Ind(z2) = 2, Ind(z3) = −1, Ind(z4) = 0,

i

–i

–2 –1 1 2

γ2o

γ3

o

γ1

o

i

–i

–2 –1 1 2

γ2o

γ3

o

γ1

o

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 137

podemos “fabricar” un ciclo hom´ologo a  respecto de \{z1, z2, z3, z4} tomando

0 = 1 ∪ 2 ∪ 3, donde

1 = [γ o

1 ], 2 = [γ o

2 , γ o

2 ], 3 = [−γ o

3 ],

y γ o

j (1 ≤ j ≤ 3) son circunferencias elegidas como antes. Con ´esto



f =

0

f =

γ o

1

f + 2

γ o

2

f −

γ o

3

f

= 2πi (Res( f ; z1) + 2 Res( f ; z2) − Res( f ; z3) + 0 · Res( f ; z4))

= 2πi

4

j=1

Ind(zj ) Res( f ; zj ).

Estos son los ingredientes esenciales de la demostraci´on general del teorema de los

residuos, que se expone en el siguiente apartado.

9.3 EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS

Teorema 9.2. (Teorema de los residuos). Sea  un abierto no vac´ıo de C y sea f

una funci´on holomorfa en \ A, donde A ⊆  consta de singularidades aisladas

de f . Para todo ciclo  hom´ologo a 0 respecto de  tal que A ∩ sop  = ∅ se

verifica

1

2πi



f (z) dz =



a∈A

Res( f ; a) Ind(a).

138 Teorema de los residuos. Aplicaciones.

Demostraci´on. Observemos, ante todo, que los sumandos que cuentan realmente

en el segundo miembro de la igualdad anterior son los no nulos. Por tanto, examinemos

el conjunto

A0 = {a ∈ A : Ind(a) = 0}.

Si fuese A0 = ∅, se tendr´ıa Ind(a) = 0 para todo a ∈ A, con lo cual la suma

resultar´ıa nula; pero se sigue tambi´en que  es hom´ologo a 0 respecto de  \ A,

abierto en el que f es holomorfa, luego la integral es asimismo nula, en virtud del

teorema homol´ogico de Cauchy.

En caso contrario, A0 es un conjunto finito. En efecto:

• A0 no tiene puntos de acumulaci´on en , porque entonces tambi´en A tendr´ıa

puntos de acumulaci´on en , lo que es falso;

• A0 no tiene puntos de acumulaci´on fuera de , ya que si z0 ∈ C \ ,

Ind(z0) = 0 por ser  ∼ 0 (); tomando r > 0 tal que D(z0; r ) ⊆ C\sop ,

para todo z del conexo D(z0; r ) se tendr´ıa Ind(z) = Ind(z0) = 0, con lo

cual D(z0; r ) ∩ A0 = ∅;

• A0 es un conjunto acotado, pues tomando R > 0 de manera que sop  ⊆

D(0; R), sabemos que es Ind(z0) = 0 para todo z0 / ∈ D(0; R) (C\ D(0; R)

est´a contenido en la componente no acotada deC\sop ), y as´ı A0 ⊆ D(0; R).

En resumen, A0 es un conjunto acotado que no tiene puntos de acumulaci´on

en C, luego forzosamente ha de tener un n´umero finito de puntos. Sean ´estos a1,

a2,. . . , an, distintos entre s´ı.

Ahora, asociamos a los aj ∈ A0 (1 ≤ j ≤ n) sendos discos D(aj ; Rj )

contenidos en, elegidos de tal manera que D(aj ; Rj )∩ A = {aj }. Para 1 ≤ j ≤ n,

tomemos 0 < rj < Rj, y sean γj = ∂D(aj ; rj ) la circunferencia de centro aj y

radio rj orientada positivamente, Nj = Ind(aj ) y

j =



[γj , (Nj ) . . ., γj] siNj > 0,

[−γj , (−Nj ) . . . ,−γj] siNj < 0,

el ciclo formado por |Nj | caminos iguales a γj o a −γj , para el que en cualquier

caso Indj (z) = Nj Indγj (z). Veamos que el ciclo

0 = 1 ∪ 2 ∪ · · · ∪ n

es hom´ologo a  respecto de  \ A. En efecto: para cada z ∈ C \ sop 0,

Ind0 (z) =

n

j=1

Indj (z) =

n

j=1

Nj Indγj (z)

y por tanto

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 139

∗ si z ∈ C \ , Ind(z) = 0 por hip´otesis, Ind0 (z) = 0 porque cuando

...