Teorema Fundamental del Cálculo

Unidad 1.- Teorema Fundamental del Cálculo.‎ > ‎

1.1 Medición Aproximada de Figuras Amorfas

1.1 aproximación de figuras amorfas

Las figuras amorfas "son aquellas figuras que no tiene forma”.

Es una curva o una figura de muchos lados distintos.

Su principal finalidad es encontrar en una gráfica dada su área de la parte de

adentro de una figura donde se encuentra el punto dado de la figura amorfa.

Para medir su área se utiliza la Notación de la Sigma

https://sites.google.com/site/ciclopezlopezmiriamj/1-teorema-fundamental-del-calculo/1-1-medicion-aproximada-de-figuras-amorfas

1.2 NOTACIÓN SUMATORIA

notacion sigma

la suma de los primeros 10 números pares

la suma de los números impares

explicación:

En las sumatorias se responden porque tienen un límite y nada más sustituyen los limites en las formulas y así se llega al resultado .

Hay sumatorias que llevan de una serie y se tienen que obtener las fórmulas para su solución y hay sumatorias que están en formula y tienes que sacar la serie para darle solución.

1.3.SUMA DE RIEMANN

Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes

de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas

de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann

Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales.

El ancho de cada franja es:

Teniendo los intervalos:

La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:

donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux.

Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:

Sabiendo que:

Podemos obtener las siguientes igualdades:

(donde C es constante)

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1.4 Definicion Integral Definida

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades de la integral definida

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

• Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.

• Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.

• La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

• La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).

• Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

• Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

• Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x)  g (x), se verifica que:

Ilustración gráfica del concepto de integral definida.

http://www.hiru.com/matematicas/la-integral-definida

1.5 teorema de existencia

Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b].

Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho

intervalo, para el que se verifica:

El valor f © se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b].

Quizá sea interesante hacer varias observaciones:

1) El punto c puede no ser único.

El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa

Propiedad.

2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación

media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.

3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza

presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse

por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de

funciones complicadas, utilizando métodos numéricos, como la Regla de

Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones de integración

sencilla.

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2. EL TEOREMA APLICADO A UNA FUNCIÓN DETERMINADA

Vamos a estudiar la aplicación del teorema a una función concreta.

Para una primera aproximación vamos a escoger una función que sea continua

en cualquier intervalo de la recta real, para que tengamos la seguridad de que se

cumple la hipótesis de nuestro teorema.

La función objeto de nuestro estudio va a ser la siguiente:

Los controles a y b son los extremos del intervalo. Al cambiar sus valores

se puede observar como varía el valor medio de la función y el punto, o puntos,

en que se alcanza dicho valor. La función con la que estamos trabajando es simétrica

y eso provoca que en algunos intervalos el

punto c no sea único.

El trazo azul indica el conjunto de valores que toma la función en el intervalo [a,b], cuyo valor medio

queremos calcular. Ten en cuenta que el extremo del intervalo a debe ser más pequeño que

el extremo b.

En cualquier caso, si te equivocases, aparecería un mensaje de error.

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3. EL TEOREMA APLICADO A UN TIPO DIFERENTE DE FUNCIONES

Vamos a considerar ahora la aplicación del teorema a un tipo diferente de funciones.

Aquí el punto en el que se alcanza el valor medio es único ya que la familia de funciones

exponenciales que estudiamos,

también con dominio en todos los números reales y fácilmente integrables, se caracteriza por su

monotonía. El conjunto de funciones que representamos responde a la ecuación general

en la que k puede tomar diversos valores reales en el intervalo [−0.5 , 0.5],

lo que hace que la función pueda ser una exponencial creciente o decreciente.

En el caso K = 0, al tratarse de una función constante el teorema carece de interés.

En la escena anterior la función era definida positiva y por tanto también lo era su

valor medio. Ahora las funciones pueden tomar valores positivos y negativos

según los intervalos, lo que afecta al valor medio obtenido.

El control k permite variar la función exponencial considerada. Los controles a y b

Representan, como en la escena anterior, los extremos del intervalo.

Puedes estudiar diferentes intervalos en cada función que representes

1.6.propiedades de la integral

definida.

si una funcion (f) es continua en el intervslo de [a,b] y f(x) >0, entonces el area bajo

la curvas f sobre [a,b] es

f y g son funciones integrales:

1.-

la propiedad dice que cuando son iguales es 0

2.-

se utilisa la propiedad dos sa cambia [a, b]

equivale a la tercer funcion del ejercicio.

3.

no esta definida en ninguna ecuacion de base se integra

se agarra los valores de la ecuacion de base se se realiza la resta, que esta vez se dio

suma por el signo y sale el resultado.

4.

se utiliza la ultima propiedad, se saca la constante y se resta [a,b]

LA RESOLUCIÓN DE LAS INTEGRAL

LAS PROPIEDADES NO SIRVEN PARA DARLE RESPUESTA A LAS INTEGRALES

DE UNA MANERA MAS CONCISA Y ENTENDIBLE ESTAS PROPIEDADES NOS

AYUDAN A LA RESOLUCIÓN DE LAS INTEGRALES POR QUE SI ESTAS

PROPIEDADES NO EXISTIERAN NO SE PODRÍA DARLES SOLUCIÓN

1.7 Función primitiva.

una funcion primitiva es aquella que despues de haber sido derivada pasando por

su diferencial y por el proceso de integracion no vuelve exactamente a su funcion original

ej:

y=3x”+2x+18

dy/dx=6x+2

dy=6x+2 (dx)

Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c

Integral definida: Proceso de cálculo de áreas encerrada entre una curva y un eje cartesiano.

Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran

los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del

cálculo integral.

Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio).

F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F’ = f.

Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva,

pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo

forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas

o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad

de la integral

1.8.teorema fundamental del calculo

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de unafunción son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_cálculo

1.12.calculo de integrales definidas

1.10.integrales Impropias

Integrales Impropias

De acuerdo con la definición de integrales, tenemos una función que está limitada de ambos lados superior e inferior para algún intervalo Icon rango [p, q].

Ahora, en tal escenario dos casos pueden ocurrir,

1. O la función que tenemos se convierte en ilimitada en uno o ambos de sus lados.

2. O, el intervalo para el cual la función es definida en sí se convierte ilimitado, ya sea de un solo lado o de ambos lados.

En tal situación la integral que tenemos se llama integral impropia.

Una integral impropia es un tipo de integral definida dondeo los límites de la integración o la función alcanzan el infinito.

Esto puede ocurrir una o varias veces para los límites de integración dados.

Entendamos ahora el caso I en profundidad.

Para que la función se vuelva ilimitadatenemos dos posibilidades o la función se convierte en ilimitada para el intervalo superior o la función se vuelve ilimitada para el intervalo inferior.

En este caso tenemos el valor de la función alcanzando el infinito para el límite inferior de la función.

Y en este caso tenemos el valor de la función alcanzando el infinito para el límite superior de la función.

No es posible adoptar la manera usual para encontrar la respuesta del problema en tal escenario.

Así que otra forma de obtener la respuesta es la que se ilustra a continuación.

Suponga que una función alcanza el infinito para su límite inferior.

Ahora para encontrar la suma del área cubierta por la gráfica de la función, haga uso de los métodos de los límites.

Suponga que tenemos un gráfico definido para una función g(x), y para las expresiones x = p y x = q.

Esta función no está acotada para el valor de p.

Ahora para calcular la suma del área bajo la gráfica asumimos una variable que tiende hacia el límite inferior de la función y la multiplicamos con la integración de la función para un nuevo límite inferior en esta nueva variable. Por tanto obtenemos,

Si la función alcanza el infinito para más de un punto en el intervalo dado entonces, en consecuencia rompemos el intervalo y la variable debe ser elegidade tal forma que se encuentre entre todos los puntos dados.

Ahora cambiemos nuestro enfoque hacia el segundo caso.

En este caso tenemos el límite superior del intervalo yendo hacia el infinito que es [p, + ).

Y en este caso tenemos el límite inferior del intervalo dirigiéndose hacia el infinito que es (- , q].

Vamos ahora a comprender el procedimiento para resolver dicha función. Sea una integral para la cual el límite superior de integración tiende hacia el infinito.

Ahora supongamos una variable cuyo valor tiende hacia el infinito para calcular el límite.

Ahora multiplique este límite con la integración de la función donde el límite superior para la integración es la nueva variable.

Un enfoque similar se puede utilizar para el límite inferior en el que reemplazamos el límite inferior de integración con la nueva variable.

Tomemos ahora un ejemplo,

g(x) = 1/ 2×2 – x sobre el intervalo [0, 1].

1/ 2×2 – x dx

= 1/ 2×2 – x dx + 1/ 2×2 – x dx + 1/ 2×2 – x dx

Esto es porque; tenemos la función que tiende al infinito en los puntos 0 y 0.5.

Ahora la ecuación anterior se puede resolver como una integral definida normal.

http://www.mitecnologico.com/igestion/Main/CalculoIntegral

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