Teorema Fundamental Del Calculo

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

MEDICION APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS

Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras.= (x1y1+ x2y2+ x3y3+ x4y4……………+ XnYn).

NOTACION SUMATORIA

Identificar cual es el numero con el que vas a empezar a sumar. Ese número esta debajo de este signo: ∑. Después de haber identificado el número tienes que identificar otro numero para saber hasta que numero vas a terminar de sumar. Ese número está arriba de este signo: ∑. Después de haber identificado los números, entonces pones los números que vas a sumar delante del signo igual que debes de poner enseguida del signo: ∑.Sumas los numero y está terminado tu ejercicio. Si hay letra debajo del símbolo de suma, sustituyes la letra por el valor numérico hasta que llegues al número que está arriba del símbolo de suma.

Ejemplo:

:

1.- ∑4n=0 n=0+1+2+3+4= 10

2.- ∑7k=1 k(k +1) = 1(1+1)+2(2+1)+3(3+1)+4(4+1)+5(5+1)+6(6+1)+7(7+1)= 143

SUMAS DE RIEMANN

Es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

Consideremos lo siguiente:

 Una función

Donde D es un subconjunto de los números reales

 I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.

 Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b

crean una partición de I

P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}

Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

Donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.

Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.

Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal.

DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA

La integral como un límite hemos definido la norma de una partición. La relación entre la norma y el nº de subintervalo que tomemos en una partición general [a,b] será:

(b-a) / ||∆|| ≤ n

Si la norma tiende a cero, está claro que (nº de subintervalo en [a,b])tenderá a infinito. Este es el caso ideal para obtener un valor exacto de la integral.

El caso contrario no siempre es cierto, es decir, el que haya infinitos subintervalo implica necesariamente que la norma tienda a cero. Por ejemplo sea ∆n la partición del intervalo [0,1] dada de la siguiente manera:

Los subintervalos tienden a hacerse cada vez más pequeños, cuando n sea lo suficientemente grande, tenderán a cero, pero ello no evita qué tengamos un subintervalo de ancho 1/2 que en este caso será la norma de la partición ∆n

Si f(x) está definida en el intervalo [a,b](única condición impuesta por Riemann, puesto que ahora la definición de Integral definida va a ser mucho más amplia que la que dimos para el cálculo del área bajo una curva)

Y existe el límite. Entonces f(x) es integrable en el intervalo [a,b]y lo escribimos se le llaman límites inferior y superior de integración

TEOREMA DE EXISTENCIA

Es un teorema con un enunciado que comienza 'existe(n)...', o más generalmente 'para todo x, y, ...existe(n) ...'. Esto es, en términos más formales de lógica simbólica, es un teorema con un enunciado involucrando el cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo hacen explícitamente, como es usual en el lenguaje matemático estándar, por ejemplo, el enunciado de que la función seno es una continua, o cualquier teorema escrito en la notación O.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.

1) donde c es una constante

2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:

(se pueden generalizar para más de dos funciones)

3) Si x está definida para x = a entonces = 0

4) Si f es integrable en [a, b] entonces

5) Propiedad de aditivita del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces

FUNCION PRIMITIVA

Es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función original. Ejemplo:

y=3x”+2x+18

dy/dx=6x+2

dy=6x+2 (dx)

Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c

Integral definida: Proceso de cálculo de áreas encerrada entre una curva y un eje cartesiano. Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral. Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente) dominio). F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F’ = f.

Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral: Aquí están las principales funciones primitivas: Función F: primitiva de f función f: derivada de F

Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2–3x). Como no se conoce primitivas de un producto, desarrollemos la expresión: x(2–3x)= 2x - 3×2. 2x es la derivada de x2, 3×2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3×2 tiene como primitiva x2 - x3 + k. Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7.

Al diferir las primitivas de una misma función f de una constante solamente, resulta que la diferencia F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin mencionar a F, sino solamente a f:

Se llama integral de f entre a y b este valor. La integral tiene un significado muy concreto en el campo de la geometría: es el área entre la curva de f, el eje de los x, y dos rectas verticales x = a y x = b: éste es el teorema fundamental del análisis.

Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por lo tanto el área de la que hemos hablado es algebraica y no geométrica. Si una función es alternadamente positiva y negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de los x.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en este punto de la historia ambas ramas convergen, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

 Primer teorema fundamental del cálculo:

Dada una función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por . Si f es continua en , entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c).

 Segundo teorema fundamental de cálculo. También se le llama regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow o regla de Newton-Leibniz

Dada una función f continua en el intervalo [a,b] y sea g cualquier función primitiva de f, es decir g'(x)=f(x) para todo , entonces:

CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS

Calcular la siguiente integral indefinida ∫ + dx x x n 1 2 (arctg )

En este caso el parámetro es el valor n.

Para resolver la integral bastará que editemos la expresión “(atan x)^n/(1+x^2)” y aplicamos sobre la misma Cálculo-Integrar, marcando la opción Integral-Indefinida y al simplificar resulta (señalando como constante 0) Recuérdese que este resultado nos da una de las primitivas; para obtener la integral indefinida habría que añadir la constante de integración. Evidentemente, n≠−1. Sin embargo, no siempre resulta tan automático el cálculo de este tipo de integrales indefinidas:

EJEMPLO Demostrar para los distintos valores de n∈N y b∈R que se verifica la siguiente igualdad ∫ ∫ + = − + − dx x b b x n dx x x b xn n n 1 Solución. Cálculo Integral 91 En primer lugar debemos definir las variables n como entera y b como variable real. Esto se realiza utilizando la secuencia Definir-Dominiodeuna Variable y definiendo para n el Dominio-Enteros y el Intervalo-Positivos. Resulta en la ventana de álgebra la expresión Para b consideramos todos los reales, Definamos a continuación la expresión del integrando editando Si intentamos calcular directamente la integral indefinida se obtiene DERIVE no la ha calculado correctamente, ya que existen dos parámetros. Por tanto tenemos que utilizar otro procedimiento. Una posibilidad sería ensayar para diversos valores de n. Esto se puede realizar editando la expresión VECTOR(INT(x^n/(x + b), x), n, 0, 3) Al simplificar obtenemos las soluciones de dicha integral para los valores de n=0,1,2,3. De aquí podríamos plantear una conjetura. Parece que cada elemento se obtiene a partir del anterior multiplicando éste por −b y sumando al resultado n xn . Es decir que la conjetura que deberemos probar es ∫ ∫+ = − + − dx x b b x n dx x x b xn n n 1 igualdad que es equivalente a . 1 n dx x x b b x x b xn n n =    + + ∫ + − Por tanto tendremos que probar la igualdad anterior. Si editamos el integrando de la igualdad anterior y calculamos la integral indefinida Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 92 se obtiene la igualdad deseada, situación que confirma la validez de nuestra conjetura.

INTEGRALES IMPROPIAS

Es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. Además una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se pueden dar ambas situaciones.

Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral

Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:

En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.

La integral

puede interpretarse como:

pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor.

En contraste al caso anterior,

no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que

Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por

Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de números reales en los cuales debemos utilizar límites.

Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que "ocultar" el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la recta real.

INTRODUCCIÓN

En este trabajo se plantea se redacta el propósito del trabajo; también se expone de forma rápida los mecanismos y procedimientos empleados de analizar la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en este punto de la historia ambas ramas convergen, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

CONCLUSIÓN

Conocer en identificar los diferentes conceptos del teorema fundamental de cálculo, y que tenga la capacidad para desarrollarlos, identificarlos, y comprenderlos para tener un conocimiento además de que los ponga en práctica, porque es muy importante para nuestro desarrollo académico.

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