Teorema grand-smith

[pic 2]

 [pic 3]

 Segunda Tarea: Métodos Numéricos

Alumnos: Benjamín Cerda

Mauricio Miño

Camilo Morales

Nicolás Salinas

                        Profesor(a): William Campillay

                        Ramo: Métodos Numéricos

                        Tarea: 2

                                        Fecha Entrega: 04-09-2017

Índice  

Marco Teórico............................................................................................3

Introducción……………………………………………………………………4

Métodos y Datos………………………………………………………………5

Resultados……………………………………………………………………..6

Discusión……………………………………………………………………....7

Conclusión…………………………………………………………………… 8

Referencias …………………………………………………………………...9

Marco Teórico

En álgebra lineal, la descomposición o factorización QR de una matriz es una descomposición de la misma como producto de una matriz ortogonal por una triangular superior. La descomposición QR es la base del algoritmo QR utilizado para el cálculo de los vectores y valores propios de una matriz.

El cálculo de la factorización se hace de la siguiente manera:

Recurriendo al método de ortogonalización de Gram-Schmidt, con las columnas de A como los vectores a procesar.

[pic 4]

Naturalmente, utilizamos los ai s de A para obtener:

[pic 5]

Ahora estas ecuaciones pueden ser escritas en forma matricial de esta manera:

[pic 6]

El producto de cada fila con cada columna de las matrices de arriba, nos da la respectiva columna de A con la que comenzamos y, por tanto, dada la matriz A, la hemos factorizado en una matriz ortogonal Q (la matriz de eks), aplicando el proceso de Gram-Schmidt, y la matriz resultante triangular superior es R.

Alternativamente, la matriz R puede calcularse de la siguiente manera:

Recordemos que: Q = (e1|…|en) Entonces, tenemos:

[pic 7]

Introducción        

En este informe realizaremos en mathlab una factorización QR con el fin de ver la optimización y facilidades que brinda esta herramienta al momento de trabajar con matrices.

Teniendo en cuenta que la factorización QR puede realizarse mediante distintos métodos como por ejemplo:

• Método de ortogonalizacion de Gram-Schmidt

• Reflexiones de Householder

• Rotaciones de Givens

Nosotros aplicaremos el método Grand-Schimdt en MathLab a unas matrices donde veremos los resultados previamente hechos a mano.

...