TEORIA DE CONJUNTOS

Introducción a la teoría de Conjuntos: En la segunda parte hemos sentado las bases lógicas de la teoría de conjuntos, es decir, hemos precisado cómo pueden entenderse las afirmaciones que hacen los matemáticos: como teoremas de una determinada teoría axiomática.

Todos estos términos han sido cuidadosamente definidos. Sin embargo, no hemos demostrado nada que un matemático no tenga por evidente en su trabajo cotidiano: existe la unión, la intersección, los números naturales, etc. Si hasta ahora hemos explorado lógicamente la teoría de conjuntos, esta tercera parte está dedicada a explorarla matemáticamente. La mayoría de los resultados que presentamos constituyen una exposición sistemática de los descubrimientos de Cantor a finales del siglo XIX. En efecto, lo que hoy se conoce propiamente como “teoría de conjuntos” es una vasta rama de la matemática cuyos fundamentos fueron establecidos por Cantor prácticamente en solitario. Podemos decir que “todo empezó” cuando, a instancias de Heine, Cantor abordó el problema de la unicidad de los desarrollos en series trigonométricas de funciones arbitrarias. Pronto obtuvo un resultado válido para series convergentes sobre todo el intervalo [0, 2π], si bien Cantor observó que si la convergencia fallaba en algunos puntos excepcionales la unicidad de la serie seguía siendo válida. Para precisar que excepciones eran admisibles, introdujo la noción de conjunto derivado de un conjunto P ⊂ [0, 2π], que no es sino el conjunto P0 de todos los puntos de acumulación de P. Más en general, es posible calcular derivados sucesivos P, P0, P00, P000, . . . o, mejor, P(1), P(2), P(3),. . . Cantor definió un conjunto de primera especie como un conjunto P tal que, para algún n, se cumple P(n) = ∅. A los conjuntos que no eran de primera especie los llamó de segunda especie. En estos términos, Cantor probó el teorema siguiente:

Si se tiene la igualdad 0 = d0 + ∞Pn=1cn sen nx + dn cos nx, para todo x ∈ [0, 2π] salvo a lo sumo en un conjunto de puntos de primera especie, entonces todos los coeficientes cn, dn son nulos. Esto le llevó a tratar de comprender cuál era la diferencia entre los conjuntos de primera y segunda especie. Un hecho relevante es que todo conjunto de primera especie es numerable, pero esta noción era completamente desconocida a 291 292 la sazón. No obstante, Cantor la intuyó, y se preguntó si sería posible establecer una correspondencia biunívoca entre los números naturales y los números reales. El 23 de noviembre de 1873 formuló la pregunta en una carta a su amigo Richard Dedekind, el cual le contestó que era incapaz de encontrar una razón por la que no pudiera existir tal correspondencia, pero antes de que acabara el año Cantor ya había probado que no podía existir. A principios de 1874, en una nueva carta, Cantor preguntaba si sería posible biyectar los puntos deuna superficie, por ejemplo un cuadrado, con los de un segmento de recta. La respuesta parecía ser obviamente negativa, y muchos de los matemáticos a los que les planteó la cuestión la tomaron por ridícula. Sin embargo, tres años después, en 1877, Cantor anunciaba a Dedekind que, en contra de la opinión general y por asombroso que resultara, tal correspondencia sí era posible. De hecho cualquier espacio de n dimensiones podía biyectarse con la recta real.

A partir de estos resultados, Cantor llegó a la convicción de que tenía pleno sentido hablar del número de elementos de un conjunto infinito, lo que él llamó su “potencia”, de modo que dos conjuntos tienen la misma potencia si y s´olo si

sus elementos pueden ponerse en correspondencia biun´ıvoca. Ya hab´ıa probado

que existen al menos dos potencias distintas: la potencia com´un a todos los

“continuos” (es decir, Rn) y la potencia de los conjuntos “discontinuos”, como N

o Q. Se plante´o, no obstante, la posibilidad de que existieran potencias mayores

que la del continuo, problema que s´olo respondi´o en toda su generalidad mucho

despu´es, con el c´elebre teorema que lleva su nombre.

De momento, Cantor se centr´o en el estudio de los subconjuntos de R. Su

conjetura era que cualquier subconjunto infinito de R ten´ıa que ser, o bien de

la potencia del continuo, es decir, comparable con la totalidad de los n´umeros

reales, o bien numerable. Para estudiar si esto era correcto continu´o su investigaci

´on sobre los conjuntos derivados de puntos. Prob´o que, ciertamente, los

conjuntos de primera especie son numerables. Ahora bien, si un conjunto P es

de segunda especie, es decir, si todos sus derivados sucesivos son no vac´ıos, ´estos

forman una sucesi´on decreciente:

P(1) ⊃ P(2) ⊃ P(3) ⊃ • • •

por lo que pod´ıa considerar lo que llam´o5 P(ω) = ∞T

n=1

P(n). A partir de este

conjunto derivado infinito podemos formar nuevos derivados P(ω+1), P(ω+2),

P(ω+3), . . . Si todos ellos son no vac´ıos, todav´ıa podemos continuar la sucesi´on

formado el conjunto P(ω+ω) = ∞T

n=1

P(ω+n), a partir del cual, a su vez, podemos

formar los derivados P(ω+ω+1), P(ω+ω+2), etc.

Uno de los mayores logros de Cantor fue darse cuenta de que los super´ındices

que le aparec´ıan en su an´alisis de los conjuntos de puntos, a los que se refer´ıa

en los teoremas como “s´ımbolos infinitos”, ten´ıan entidad matem´atica propia.

En su trabajo de 1893 “Fundamentos de una teor´ıa general de conjuntos” los

5Su primera notaci´on fue P(∞), pero adoptaremos en todo momento la notaci´on que,

tiempo despu´es, tom´o por definitiva y que es la habitual hoy en d´ıa.

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present´o con el nombre de “n´umeros transfinitos”. Seg´un explicaba, los n´umeros

transfinitos

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