Teoría de Límites

Teoría de Límites.

 Sucesiones: una sucesión numérica no es más que una lista, o serie, ordenada de números reales.

 Ordenada, ya que si los números no ocupan una posición bien determinada, como las cifras que hay dentro del bombo de un sorteo de lotería, no forman una serie, es en el momento de su extracción ordenada cuando configuran la serie de extracción, de modo que cada cifra sale una o varias veces, paro cada vez en una posición distinta.

 El valor de los números en la serie puede o no depender de la posición en la que éstos se encuentran, de ahí que puede haber series aleatorias, sin nin¬guna relación en cuanto al orden y valor de los números, y series que siguen una ley o criterio de formación.

 Término de una serie es cada uno de los elementos que la componen y consta de dos partes bien diferenciadas:

 Orden del término, que nos indica qué posición ocupa dentro de la suce-sión el número en cuestión, así el primero, el segundo, ....., el vigésimo, etc. ...

 Valor del término, es el valor numérico asociado al mismo.

 Notación: para referirnos a un término de la sucesión lo haremos poniendo , donde n indica el orden o posición del término, a es el nombre genérico del térmi¬no, y b es el valor numérico del término.

 Terminología: para nombrar términos de una sucesión utilizaremos letras minúsculas, a, b, c, etc. .... junto con un subíndice, un número, que nos indica la posición dentro de la serie. Cuando nos refiramos a una posición genérica utilizaremos una letra minúscula n, k, i, j, etc. ...

 Ejemplo: nos dice que el término séptimo de la serie tiene el valor numérico asociado de treinta y siete cuartos.

 Término general: es la forma en la que nos referiremos a un término cual-quiera de la sucesión, se suele indicar por etc. ..

 Términos equidistantes de los extremos: son aquellos que se encuentran a igual distancia del primero y del último, por ejemplo:

 , son equidistantes el 6 y el 18 y el 10 y el 14.

 Si nos fijamos en el orden, el segundo y el penúltimo, el tercero y el antepe-núltimo, en general el y el , es decir , etc. ...

 Clases de sucesión:

 Limitadas, cuando constan de un número finito de términos, 10, 12, 40, etc.



 Ilimitadas, cuando el número de términos es infinito.



 Acotadas superiormente: una sucesión está acotada superiormente si existe un número real M,, igual o mayor que todos los elementos de la suce-sión.



• Ejemplo: , acotada superiormente por 1 e inferiormente por 0.

 Acotadas inferiormente: una sucesión está acotada inferiormente si existe un número real m,, igual o menor que todos los elementos de la suce¬sión.



• Ejemplo: acotada superiormente por 0,5 e inferiormente por 0.

 Acotadas: cuando lo está superior e inferiormente.

 Positivas: una sucesión se define positiva si .

 Ejemplo: , desarróllala y compruébalo.

 Negativas: una sucesión se define negativa si

 Ejemplo: , desarróllala y compruébalo.

 Alternantes: una sucesión se dice alternante cuando el signo de sus términos se va alternando entre positivo y negativo.

 Ejemplo: , desarróllala y compruébalo.

 Monotonía:

 Monótonas crecientes: una sucesión es creciente si cada término de la misma es igual o mayor que el inmediatamente anterior al mismo.



 Monótonas estrictamente crecientes: una sucesión es estricta-mente creciente si cada término de la misma es mayor que el inmediatamente anterior al mismo (no puede haber ninguno que sea igual).



• Ejemplo: , desarróllala y compruébalo.

 Monótonas decrecientes: una sucesión es decreciente si cada térmi-no de la misma es igual o menor que el inmediatamente anterior al mismo.



 Monótonas estrictamente decrecientes: una sucesión es estricta-mente decreciente si cada término de la misma es menor que el inmediatamente anterior al mismo (no puede haber ninguno que sea igual).



• Ejemplo: , desarróllala y compruébalo.

 Monótonas constantes: aquella en la que todos los términos toman el mismo valor constantemente.



 Punto de acumulación, aproximación: un punto a es un punto de acumula¬ción de una sucesión cuando en cualquiera de sus entornos reducidos , por pequeño que sea , existen términos de la sucesión.

 Ejemplo: , se puede ver que los términos negativos van tendiendo hacia −2 y los positivos hacia 2.

 Límite de una sucesión: se dice que una sucesión tiene límite un número a cuando, fijado un entorno del punto a, de radio tan pequeño como queramos, se puede encontrar un término, ap, de la sucesión a partir del cual todos los demás caen dentro del entorno.

 , en términos de distancia

 Ejemplo: tiene límite y este vale 2, ya que, aún fijando un radio de entorno grande, como de una décima, tenemos que para que se cumpla la definición , es decir, a partir del término 41 todos ellos están dentro del entorno de 2, . Si queremos podemos fijar un entorno aún más pequeño, por ejemplo de diezmilésimas, en cuyo caso , es decir que a partir del término 40001, todos los demás estarán dentro del entorno . Como la sucesión es ilimitada podemos concluir que .

 Unicidad del límite: si una sucesión tiene límite éste es único.

 Demostración

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