Teoría de Límites

Teoría de Límites.

 Sucesiones: una sucesión numérica no es más que una lista, o serie, ordenada de números reales.

 Ordenada, ya que si los números no ocupan una posición bien determinada, como las cifras que hay dentro del bombo de un sorteo de lotería, no forman una serie, es en el momento de su extracción ordenada cuando configuran la serie de extracción, de modo que cada cifra sale una o varias veces, paro cada vez en una posición distinta.

 El valor de los números en la serie puede o no depender de la posición en la que éstos se encuentran, de ahí que puede haber series aleatorias, sin nin¬guna relación en cuanto al orden y valor de los números, y series que siguen una ley o criterio de formación.

 Término de una serie es cada uno de los elementos que la componen y consta de dos partes bien diferenciadas:

 Orden del término, que nos indica qué posición ocupa dentro de la suce-sión el número en cuestión, así el primero, el segundo, ....., el vigésimo, etc. ...

 Valor del término, es el valor numérico asociado al mismo.

 Notación: para referirnos a un término de la sucesión lo haremos poniendo , donde n indica el orden o posición del término, a es el nombre genérico del térmi¬no, y b es el valor numérico del término.

 Terminología: para nombrar términos de una sucesión utilizaremos letras minúsculas, a, b, c, etc. .... junto con un subíndice, un número, que nos indica la posición dentro de la serie. Cuando nos refiramos a una posición genérica utilizaremos una letra minúscula n, k, i, j, etc. ...

 Ejemplo: nos dice que el término séptimo de la serie tiene el valor numérico asociado de treinta y siete cuartos.

 Término general: es la forma en la que nos referiremos a un término cual-quiera de la sucesión, se suele indicar por etc. ..

 Términos equidistantes de los extremos: son aquellos que se encuentran a igual distancia del primero y del último, por ejemplo:

 , son equidistantes el 6 y el 18 y el 10 y el 14.

 Si nos fijamos en el orden, el segundo y el penúltimo, el tercero y el antepe-núltimo, en general el y el , es decir , etc. ...

 Clases de sucesión:

 Limitadas, cuando constan de un número finito de términos, 10, 12, 40, etc.



 Ilimitadas, cuando el número de términos es infinito.



 Acotadas superiormente: una sucesión está acotada superiormente si existe un número real M,, igual o mayor que todos los elementos de la suce-sión.



• Ejemplo: , acotada superiormente por 1 e inferiormente por 0.

 Acotadas inferiormente: una sucesión está acotada inferiormente si existe un número real m,, igual o menor que todos los elementos de la suce¬sión.



• Ejemplo: acotada superiormente por 0,5 e inferiormente por 0.

 Acotadas: cuando lo está superior e inferiormente.

 Positivas: una sucesión se define positiva si .

 Ejemplo: , desarróllala y compruébalo.

 Negativas: una sucesión se define negativa si

 Ejemplo: , desarróllala y compruébalo.

 Alternantes: una sucesión se dice alternante cuando el signo de sus términos se va alternando entre positivo y negativo.

 Ejemplo: , desarróllala y compruébalo.

 Monotonía:

 Monótonas crecientes: una sucesión es creciente si cada término de la misma es igual o mayor que el inmediatamente anterior al mismo.



 Monótonas estrictamente crecientes: una sucesión es estricta-mente creciente si cada término de la misma es mayor que el inmediatamente anterior al mismo (no puede haber ninguno que sea igual).



• Ejemplo: , desarróllala y compruébalo.

 Monótonas decrecientes: una sucesión es decreciente si cada térmi-no de la misma es igual o menor que el inmediatamente anterior al mismo.



 Monótonas estrictamente decrecientes: una sucesión es estricta-mente decreciente si cada término de la misma es menor que el inmediatamente anterior al mismo (no puede haber ninguno que sea igual).



• Ejemplo: , desarróllala y compruébalo.

 Monótonas constantes: aquella en la que todos los términos toman el mismo valor constantemente.



 Punto de acumulación, aproximación: un punto a es un punto de acumula¬ción de una sucesión cuando en cualquiera de sus entornos reducidos , por pequeño que sea , existen términos de la sucesión.

 Ejemplo: , se puede ver que los términos negativos van tendiendo hacia −2 y los positivos hacia 2.

 Límite de una sucesión: se dice que una sucesión tiene límite un número a cuando, fijado un entorno del punto a, de radio tan pequeño como queramos, se puede encontrar un término, ap, de la sucesión a partir del cual todos los demás caen dentro del entorno.

 , en términos de distancia

 Ejemplo: tiene límite y este vale 2, ya que, aún fijando un radio de entorno grande, como de una décima, tenemos que para que se cumpla la definición , es decir, a partir del término 41 todos ellos están dentro del entorno de 2, . Si queremos podemos fijar un entorno aún más pequeño, por ejemplo de diezmilésimas, en cuyo caso , es decir que a partir del término 40001, todos los demás estarán dentro del entorno . Como la sucesión es ilimitada podemos concluir que .

 Unicidad del límite: si una sucesión tiene límite éste es único.

 Demostración (reducción al absurdo): supongamos que existieran dos límites, a y a’, distintos para una misma sucesión , necesariamente podremos en-contrar dos entornos, uno de a y otro de a’, disjuntos, es decir, sin puntos o elementos comunes, en términos de conjuntos, , del siguiente modo:

 Sea , es decir, la distancia entre los dos límites, tomemos entonces y , de este modo los entornos ya no solapan.

 Por otro lado, de la definición de límite tenemos:

 Si

 Si

 Sea ahora , existirá entonces , de modo que por ser y al mismo tiempo ser , entonces ap estará o pertenecerá simultáneamente a ambos entornos, con lo que en contradicción a como hemos construido éstos, luego no puede ser y el límite ha de ser único.

 Las sucesiones que tienen por límite un número real finito se llaman con-vergentes.

 Si una sucesión tiene límite entonces está acotada superior e inferiormente. Lo contrario no es cierto necesariamente

 Por definición de límite dentro del cual se encuentran todos los términos de la sucesión a partir de un cierto término p-ésimo. Sea enton-ces , éste será una cota superior para la sucesión, y del mismo modo será una cota inferior para la misma.

 Toda sucesión monótona y acotada es convergente.

 Por ser monótona será creciente o decreciente, luego una de las dos de las siguientes afirmaciones y demostraciones será suficiente.

 Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente tiene límite, y éste coin-cide con su extremo inferior.

 Se demuestra que si es una sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente, tendrá un extremo inferior m, el cual será a su vez el límite de la sucesión, ya que m será la mayor de todas las cotas inferiores y si  es un número positivo, m +  no puede ser una cota inferior. Lo cual nos lleva a que debe existir un término ap de la suce¬sión para el que se verifique que m +  > ap > m. Por otro lado, por ser una sucesión monótona decreciente , es decir, m es el límite de la sucesión.

 Toda sucesión creciente y acotada superiormente tiene límite, y éste coin-cide con su extremo superior.

 Si es una sucesión monótona creciente y acotada superiormente, tendrá un extremo superior k, el cual será a su vez el límite de la suce-sión, ya que k será la menor de todas las cotas superiores y si  es un número positivo, k −  no puede ser una cota superior. Lo cual nos lleva a que debe existir un término ap de la sucesión para el que se verifique que k −  < ap < k. Por otro lado, por ser una sucesión monótona cre-ciente , es decir, k es el límite de la sucesión.

 Operaciones con límites:

 Límite de una suma: , siendo a y b los límites respectivos de y

 Lo mismo sería si se tratara de una resta.

 Límite de un producto: , siendo a y b los límites respectivos de y

 Límite de un cociente: , siendo a y b los límites res-pectivos de y , siempre que

 Límite de una potencia: , siendo a y b los límites respectivos de y

 Límite de una constante por una sucesión: , siendo b el límite de

 Límite de la potencia de una sucesión: , siendo a el límite de

 Cálculo práctico de límites:

 Se trata de sustituir n por su valor en el límite, , y realizar las operaciones indicadas, teniendo en cuenta que:

 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

 Ejemplos:

• E1.-

• E2.-

• E3.-

• E4.-

• E5.-

• E6.-

 El número e, o número de Neper: definimos el número e como el límite de la sucesión , es decir,

 Expresiones indeterminadas, tipos de indeterminaciones:

 , se suele dar al calcular el

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