Teoría preliminar
Enviado por jrca21 • 1 de Diciembre de 2022 • Tareas • 865 Palabras (4 Páginas) • 422 Visitas
5.1 Teoría preliminar
En muchos problemas de ciencias e ingeniería aparecen funciones especiales; funciones periódicas. Es de mucha utilidad expresar este tipo de funciones en términos de las funciones trigonométricas seno y coseno.
Jean-Baptiste-Joseph Fourier
[pic 1]
Publicó en 1822 su Théorie analytique de la chaleur (Teoría analítica del calor), tratado en el cual estableció la ecuación diferencial parcial que gobierna la difusión del calor relacionándola mediante el uso de series infinitas de funciones trigonométricas, lo que establece la representación de cualquier función.
Cabe mencionar, que las series de Fourier son más generales que la serie de Taylor, incluso las funciones periódicas discontinuas se pueden representar por medio de series de Fourier y no así por series de Taylor.
Funciones periódicas
Para iniciar el estudio de las series de Fourier es necesario conocer los conceptos de función periódica, par e impar. Función f ( t ) se dice periódica de periodo T si f ( t ) = f ( t + T ) para todo t en su dominio.
Si f ( t ) es una función periódica de periodo T, entonces f ( t + nT )= f( t )
para todo valor de t en su dominio y n número entero.
Ejemplo 1
La función f(x) = sen (x) es periódica, ya que se cumple que: f(x) = f(x + K·2π) para todo K ∈ Z .
sen(x) = sen(x + 2π) = sen(x + 4π) = sen(x + 6π) = ...
Además, sen(- x) = - sen(x) , por lo tanto es impar, y su representación gráfica es la siguiente:
[pic 2]
Si a un ángulo cualquiera x le sumamos una vuelta completa, es decir, 2π rad , las razones trigonométricas del nuevo ángulo coinciden con las de x , por tanto: sen(x) = sen(x + 2π)
Ejemplo 2
La función f(x) = x - E(x) , o función mantisa, es periódica ya que se cumple que: f(x) = f(x + K) para todo K ∈ Z
x - E(x) = (x + 1) - E(x + 1) = (x + 2) - E(x + 2) = ...
[pic 3]
Funciones pares e impares
En el estudio de las funciones reales de variable real, si consideramos el punto, nos interesa el comportamiento de f cuando se toma el opuesto {\displaystyle -x}. Puede suceder que f(x) obtenga el mismo resultado que {\displaystyle f}, en cuyo caso se trata de una función par.
Las propiedades de las funciones par e impar nos facilitarán el cálculo de integrales definidas en un periodo centrado alrededor del cero.
1.Una función | f ( t ) | se dice par si | f ( - t )= f ( t ) |
2.Una función | f ( t ) | se dice impar si | f ( - t )= - f ( t ) |
Una función par es simétrica respecto al eje y, mientras que una función impar es antisimétrica en el origen.
Ejemplo 1 Funciones pares
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Ejemplo 2 Funciones pares
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Demostración:
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Gráfica:
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Ejemplo 1 Funciones impares
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Ejemplo 2 Funciones impares
...