Trabajo Analisis Numerico

EJERCICIO A TRABAJAR

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Ejercicio 1

El intervalo elegido fue  los valores entre estos dos extremos son indicados en la tabla, además se dividió la función principal en  para trabajar más cómodos las unidades, Además el valor de n se usa en meses para los 10 años seria 120 meses, el pago del crédito debido a que un pago se resuelve el pago mes a mes.[pic 5][pic 6]

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Donde 1.25 es la versión dividida por ,  es el valor [pic 8][pic 9]

Tabla 1: X me indica la tasa de interés y Y me indica el valor del capital prestado a un cierto tiempo en millones.

Luego de mirar la tabla se puede decir que los valores se pueden aproximar al valor esperado de la función de vencimiento mensual.

Un subintervalo ideal seria entre 0.005 y 0.008, este subintervalo es en el que posiblemente hallemos el valor esperado que en este caso es igual a 100.

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Grafica 1: Los valores de la función  están expresados en millones COP y los valores de x son la tasa de interés propuesta para pagar la deuda con los datos iniciales dados.[pic 11]

Ejercicio 2

Métodos y su respectivo proceso de búsqueda de la raíz

• Bisección: este método es uno de los más antiguos para encontrar raíces de una ecuación, es un algoritmo de búsqueda de raíces que funciona dividiendo un intervalo dado a la mitad y seleccionando el subintervalo que se acerca más a la raíz. Esto se logra llevar a cabo a través de varias interacciones que son aplicadas en un intervalo para por medio de ello encontrar la raíz de la función especificada. Es un método muy sencillo y de fácil intuición para resolver ecuaciones, también lleva como base del método del intervalo medio, este se basa en el teorema del valor intermedio. De tal forma si tenemos un intervalo  el valor del punto medio será , para lograr un error inferior a un  , el numero de iteraciones tiene que ser mayor o igual a .[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

1.  , entonces m es la raíz buscada[pic 16]

1. Si  y  tienen signos diferentes, entonces la raíz buscada se encuentra en el intervalo [pic 17][pic 18][pic 19]
2. Si  tienen signos diferentes, entonces la raíz buscada se encuentra en el intervalo [pic 20][pic 21]

Proceso para encontrar el valor ideal de la tasa de interés con el método de Bisección

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Código 1: Ejecución de la función de bisección para el intervalo dado.

Tabla 2: Tabla de iteraciones del método de bisección

El número de iteraciones es igual a 10 reemplazamos el valor hallado de   en la función , y el error relativo cuya fórmula se expresa más adelante.[pic 25][pic 26]

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El error relativo fue expresado en % el valor en la iteración 1 del error relativo es del 82.60 %. además, se comprueba que el valor de  se acerca cada vez más a cero.[pic 28]

• Regula Falsi: También llamado método de la falsa posición es un método iterativo que, a diferencia del método de bisección, basado en la representación de unir  y  usando una línea recta, la intersección que se genera en re la línea recta y el eje de las x me representa la mejor aproximación a la raíz de la función y esta aproximación es mucho mejor que la aproximación por el método de bisección, aunque no siempre se llega a cumplir. Para las ecuaciones de este método tenemos la fórmula de la pendiente y el caso de punto pendiente, de tal forma que al realizar los despejes tenemos que en un intervalo , la ecuación para hallar el siguiente valor de la raíz es:  y posee las mismas reglas del método de bisección para hallar el siguiente subintervalo.[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

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Código 2: Ejecución de la función de bisección para el intervalo dado.

Tabla 3: Tabla de iteraciones del método de regula falsi

El número de iteraciones es igual a 10 reemplazamos el valor hallado de   en la función , y el error relativo cuya fórmula se expresa más adelante. El error relativo fue expresado en % el valor en la iteración 1 del error relativo es del 29.65 %. además, se comprueba que el valor de  se acerca cada vez más a cero. De tal forma que podemos ver que esto converge y también podemos ver que los valores se acercan a cero igual que el error relativo, entre menor sea el error relativo mas exacta va a ser el valor de la raíz.[pic 36][pic 37][pic 38]

• Newton -Raphson: El método de newton Raphson es un algoritmo para encontrar aproximaciones a la raíz de una función de forma numérica, es usado también para hallar máximos y mínimos de una función, usando la primera derivada para hallar los ceros. Este método usa un punto inicial , y donde obtenemos un valor sucesivo  y este punto se conoce como abscisa del punto en el que la tangente a la gráfica de  en  corta al eje x. De tal forma que tenemos que para hallar una nueva aproximación a partir de un punto inicial esta: .[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

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Figura 1: Representación del método de Newton

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Código 3: Ejecución de la función de Newton-Raphson

Para ejecutar iteraciones con este método debemos tener en cuenta que para el método de Newton no necesitamos un intervalo sino solamente un punto inicial desde el que comenzaremos a iterar es importante también hallar la derivada de la función a iterar ya que esta es la base del método de newton, de tal manera que los cálculos con el punto inicial elegido fueron:  [pic 46]

Tabla 4: Tabla de iteraciones del método Newton-Raphson