PROYECTO ANÁLISIS NUMÉRICO

[pic 1]

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL 

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS 

PROYECTO

ANÁLISIS NUMÉRICO 

PARALELO 6

GRUPO # 29

Integrantes:

Bryan Antonio Chiliquinga Vergara

Alexander Xavier Pauta Bueno

GUAYAQUIL – ECUADOR 

Contenido

1.        Introducción        2

2.        Planteo  y Solución analítica del problema        3

2.1.        Problema 3 (d)        3

3.        Realización Numérica        4

4.        Bibliografía        6

1. Introducción

        En el presente proyecto utilizamos métodos numéricos para aproximar el valor de una ecuación diferencial y luego comparar los resultados con los valores iniciales. Dentro de estos métodos tenemos el predictor-corrector que se basan en utilizar alternativamente métodos multipasos explícitos e implícitos de un mismo orden para aproximar la solución. El método explícito se usa para obtener la condición inicial mediante un método iterativo, una mejor aproximación con el método implícito.

        La elección del método numérico utilizado para calcular la solución aproximada depende en gran manera del coste de computación de la función f. Si este coste es bajo, en general utilizaríamos un método de Runge Kutta, pero cuando este es alto utilizamos uno de multipaso, ya que el coste computacional de cálculo de f es menor en este caso.

        El problema dado es una ecuación diferencial de primer orden en donde para resolverla se utilizó el método de Runge Kutta de 4to orden, y posteriormente para el resto de puntos se utilizó el programa Matlab para la realización numérica.

1. Planteo  y Solución analítica del problema

1. Problema 3 (d)

Del conjunto de Ejercicios 5.7 de la página 306 del libro de Burden & Faires 7ma Edición.

Resolver la siguiente ecuación diferencial de primer orden, aproximar las soluciones de valor inicial. Después comparar los resultados con los valores iniciales y la solución real.

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solución real [pic 3]

Para resolverla usaremos el algoritmo de Runge Kutta 4orden, el cual es:

[pic 4]

Donde en este caso usaremos h=0.1.[pic 5]

Calculando el primer punto, usando [pic 6]

Tenemos que

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1. Realización Numérica

Para el resto de puntos se usó MATLAB para hacer un programa que permita resolver la EDO de [pic 13]

El programa es el siguiente:

%% RUNGE KUTTA

%%ANALISI NUMERICO

h=0.1;

m=(2-0)/h;

syms x y

freal=(3+(2*(x^2))+6*exp(x^2))^(-1/2); %solucion analitica

freal=inline(freal);

f=(x+2*x^3)*(y^3)-(x*y);            %Previene que f no tenga ambas variables

f=inline(f);

y=1/3;

x=0;

for i=1:m

     k1=h*f(x,y);

    k2=h*f(x+h/2, y+k1/2);

    k3=h*f(x+h/2, y+k2/2);

    k4=h*f(x+h, y+k3);

    y=y+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);

    x=x+h;

    u(i)=x;

    v(i)=y;

end

vreal=freal(u);

plot(u,v,'r'),hold on, grid on, plot(u,vreal,'g'), xlabel('Puntos en t'), ylabel('Puntos en y'), legend('Numérico','Real'), title('Y vs T')

matriz=zeros(m,3); %matriz de soluciones numericas y real

matriz(:,1)=u;

matriz(:,2)=v;

matriz(:,3)=vreal;

display(matriz)

Usando la ventana de comandos de Matlab, y dando a correr obtenemos los resultados. Adicionalmente calculamos un error el cual es la diferencia absoluta entre la solución numérica y la solución real para poder comparar o evaluar nuestra aproximación

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