Trabajo De Analisis De Un Juego Cooperativo

(Joc de costos)

ÍNDEX

1. Enunciat del problema.....................................................................................pàgina 3

2. Apartat A) Obtenció de la funció característica...............................................pàgina 3

3. Apartat B) Demostració de que el joc es de cooperació total....................pàgines 4/5

4. Apartat C) Solució del joc de cooperació total i anàlisis de l’estabilitat i eficiència de la solució...................................................................................................pàgines 6/7/8/9

5. Apartat D) Canvi d’alguns valors de l’enunciat de tal manera que el joc esdevingui de cooperació parcial..........................................................................pàgines 9/10/11/12

6. Apartat E)Solució del joc de cooperació parcial i anàlisi de l’estabilitat i l’eficiència de la solució. .........................................................................................pàgines 12/13/14/15

Enunciat del problema:

El passat 14 de desembre, va tenir lloc una greu masacre en una escola del Estats Units, exactament a l’estat de Connecticut. Quatre poblacions properes tenen pensat construir un gran monument en memòria dels nens i els professors morts, en total 26 persones. Cada poble o ciutat havia pensat es fer una escultura diferent, i conseqüentment tindran preus diferents. A l’ajuntament de Bristol li costaria 20.000€ construir l’escultura tot sola, mentre que al de Oakville 15.000€. El preu per a la població de Waterbury, ascendeix fins als 10.000€, i per a Woodbury, 12.000€. Aquesta informació es pot resumir en la seguen taula:

Bristol 20.000€

Oakville 15.000€

Waterbury 10.000€

Woodbury 12.000€

La empresa encarregada de fer aquest tipus d’escultures, proposa als ajuntaments fer un tant per cent de descompte, segons el nombre de poblacions que contribueixin en la construcció del monument, aquets descomptes son:

Si contribueixen 2 pobles 10% de descompte

Si contribueixen 3 pobles 25% de descompte

Si contribueixen 4 pobles 30% de descompte

Estudia la funció característica.

C(1)= 20.000 C(12)=31.500 C(123)=33.750

C(2)=15.000 C(13)=27.000 C(124)=35.250 C(1234)=39.900

C(3)=10.000 C(14)=28.800 C(134)=31.500

C(4)=12.000 C(23)=22.500 C(234)=27.750

C(24)=24.300

C(34)= 19.800

Demostra que el joc es de cooperació total, es a dir subadditiu.

Comprovem la subadditivitat del joc. En primer lloc, analitzarem si als jugadors els interessa formar coalicions de dos jugadors. Per fer-ho, compararem les coalicions individuals amb les de dos jugadors:

Coalicions de 2 jugadors

C(1)+C(2)= 35.000>C(12)=31.500 C(2)+C(3)=25.000>C(23)=22.500

C(1)+C(3)=30.000>C(13)=27.000 C(2)+C(4)=27.000>C(24)=24.300

C(1)+C(4)=32.000>C(14)=28.800 C(3)+C(4)=22.000>C(34)=19.800

Ara, amb les de tres jugadors

Coalicions de 3 jugadors:

Coalició [123]

C(1)+C(23)=42.500>C(123)=33.750

C(2)+C(13)=42.000>C(123)=33.750

C(3)+C(12)=41.500>C(123)=33.750

Coalició [124]

C(1)+C(24)=44.300>C(124)=35.250

C(2)+C(14)=43.800>C(124)=35.250

C(4)+C(12)=43.500>C(124)=35.250

Coalició [134]

C(1)+C(34)=39.800>C(134)=31.500

C(3)+C(14)=38.800>C(134)=31.500

C(4)+C(13)=39.000>C(134)=31.500

Coalició [234]

C(2)+C(34)=34.800>C(234)=27.750

C(3)+C(24)=34.300>C(234)=27.750

C(4)+C(23)=34.500>C(234)=27.750

I ara amb les de quatre jugadors

Coalicions de quatre jugadors

C(1)+C(234)=47.750>C(1234)=39.900

C(2)+C(134)=46.500>C(1234)=39.900

C(3)+C(124)=45.250>C(1234)=39.900

C(4)+C(123)=45.750>C(1234)=39.900

Hem pogut demostrar la subaddivitat, per tant es segur que es formarà la gran coalició i hi haurà cooperació total, ja que a tots els hi surt mes a compte.

En tots els casos, els tres jugadors surten beneficiats formant la gran coalició que no pas fent coalicions parcials o anant individualment. Està clar que el joc es subadditiu, perque la coalició que formaran els quatre jugadors es la que els hi suposa uns costos menors en la construcció del monument.

Soluciona el joc de cooperació total. Analitza l’estabilitat i l’eficiència de la solució.

Per trobar la solució del joc de costos i saber quina part dels 39.900 euros paga cada poble, apliquem el valor de Shapley, on els coeficients gamma venen donats per:

ɣ(1 jugador)=

[(1-1)!•(4-1)!]/4!=1/4

ɣ(2jugadors)=

[(2-1)!•(4-2)!]/4!=1/12

ɣ(3jugadors)=

[(3-1)!•(4-3)!]/4!=1/12

ɣ(4 jugadors)=

[(4-1)!•(4-4)!]/4!=1/4

El valor de Shapley del jugador 1 ve donat per:

ᴓ1= ɣ[ c(1) - c(ᴓ) ] + ɣ [ c(12) - c(2)] + ɣ [ c(13) - c(3) ] + ɣ [ (c14) – c(4)] + ɣ[ c(123) – c(23)] + ɣ[ c(124) – c(24) ] + ɣ[ c(134) – c(34) ] + ɣ [ c(1234) – c(234) ]

ᴓ1= ¼ •(20.000) 1/12 •(16.500) + 1/12 •(17.000) + 1/12 • (16.800)+ 1/12 •(11.250) + 1/12 • (10.950)+ 1/12 •(11.700) + ¼ • (12.150)

ᴓ1= 5.000 + 1.375 + 1.416,66 + 1.400 + 937,5 + 912,5 + 975 + 3.037,5 = 15.054,16

Valor de Shapley del jugador 2:

ᴓ2= ɣ[ c(2) - c(ᴓ) ] + ɣ [ c(12) - c(1)] + ɣ [ c(23) - c(3) ] + ɣ [ (c24) – c(4)] + ɣ[ c(123) – c(13)] + ɣ[ c(124) – c(14) ] + ɣ[ c(234) – c(34) ] + ɣ [ c(1234) – c(134) ]

ᴓ2= ¼•(15.000) + 1/12 •(11.500) + 1/12 • (12.500) + 1/12 •(12.300) + 1/12 • (6.750)1/12 •(6.450) + 1/12 • (7.950) + ¼•(8.400)

ᴓ2= 3.750 + 958,33 + 1.041,66 + 1.025+ 562,5 + 537,5 + 662,5 + 2.100 =10.637,49

Valor de Shapley del jugador 3:

ᴓ3= ɣ[ c(3) - c(ᴓ) ] + ɣ [ c(13) - c(1)] + ɣ [ c(23) - c(2) ] + ɣ [ (c34) – c(4)] + ɣ[ c(123) – c(12)] + ɣ[ c(134) – c(14) ] + ɣ[ c(234) – c(24) ] + ɣ [ c(1234) – c(124) ]

ᴓ3=¼•(10.000) + 1/12 •(7.000) +1/12 •(7.500) +1/12 •(7. 800) +1/12 •(2250) +1/12 •(2700) +1/12 •(3.450)+ ¼ •(4.650)

ᴓ3= 2.500+583,33 + 625 + 650 + 187,5 + 225 +287,5 + 1.162,5 = 6220,83

Valor de Shapley del jugador 4:

ᴓ4= ɣ[ c(4) - c(ᴓ) ] + ɣ [ c(14) - c(1)] + ɣ [ c(24) - c(2) ] + ɣ [ (c34) – c(3)] + ɣ[ c(124) – c(12)] + ɣ[ c(134) – c(13) ] + ɣ[ c(234) – c(23) ] + ɣ [ c(1234) – c(123) ]

ᴓ4= ¼ • (12.000) +1/12 • (8.800) +1/12 •(9.300) +1/12 • (9.800) +1/12 • (3.750) +1/12 • (4.500) +1/12 • (5.250) +¼ • (6.150)

ᴓ4= 3.000 + 733,33 + 775 + 816,66 + 312,5 + 375 + 437,5 + 1.537,5 = 7.987,49

Suma de tots els valors de Shapley:

ᴓ1 + ᴓ2 + ᴓ3 + ᴓ4 = 15.054,16 + 10.637,49 + 6.220,83 + 7.987,49= 39.899,97 ≈ 39.900

Per tant, Bristol haurà de pagar 15.054,16€ , Oakville pagarà 10.637,49€, Waterbury uns 6.220,83€ i finalment Woodbury aportará 7.987,49€.

Anàlisi de l’eficiència de la solució.

El principi d’eficiència estableix que els pagaments totals x (N) obtinguts pels jugadors quan formen part de la gran coalició N han de ser igual al valor total que s’obté de la cooperació entre tots ells. En el cas dels jocs de costos, això vol dir que el cost total s’ha de repartir íntegrament entre tots els membres de la gran coalició: x (N) = c (N):

Quan un vector de pagaments (x) compleix el principi d’eficiència es diu que la distribució dels pagaments entre els diferents jugadors és eficient.

En aquest exercici tenim que:

4

x (N) = ∑ xi = x1 + x2 + x3 + x4 = 15.054,16 + 10.637,49 + 6.220,83 + 7.987,49 =

i=1

39.899,97 ≈ 39.900

i per tant, el vector de pagaments de la solució x = (15.054,16; 10.637,49; 6.220,83 ; 7.987,49) és eficient.

Anàlisi de l’estabilitat de la solució.

Una coalició S és estable si els jugadors que hi participen obtenen un resultat individual dins de la coalició S millor que en qualsevol altre coalició de la que poguessin formar part, i per tant, tenen incentius per mantenir-se dins de la coalició S i no abandonar-la. Per comprovar que una coalició es estable, ha de complir dos principis:

El principi de racionalitat individual: El principi de la racionalitat individual es refereix al comportament de cada jugador individual, i estableix que cap jugador i que formi part d’una coalició S acceptarà un pagament (xi) que sigui pitjor al pagament que podria obtenir per si sol. En el cas dels jocs de costos significa que el pagament (xi) ha de ser inferior o igual que el cost que el jugador hauria de pagar individualment c (i), i s’expressa com:

xi ≤ c (i), per a i = 1, 2,......... n

En aquest exercici, tenim que

ᴓ1 = x1 = 15.054,16 < c (1)

...