Trabajo de Investigación sobre Funciones de Varias variables

                FACULTAD [pic 2]

CIENCIAS

CARRERA

INGENIERÍA AMBIENTAL

MATEMÀTICAS II

INFORME

TRABAJO INVESTIGATIVO

INTEGRANTES

NOMBRES:                                                                                              CÓDIGOS:

        Andres Eduardo Fajardo Guerrero                                         400

          Varinia Leonela Salinas Herrera                                            451

        Jennyfer Nataly Lobato Paez                                                   433        Dario Alexander Lozano Mosquera                                           434

          Cristina Estefanìa Peñafiel Guevara                                        250

          Mauro Ismael Naveda Vimos                                                    411                                                    

FECHA DE REALIZACIÓN:                                                 FECHA DE ENTREGA:

                  26/06/2021        30/06/2021

ECUADOR

2020-2021

INTRODUCCION

La presente investigación fue sobre temas matemáticos, funciones de varias variables para ser exactos donde vemos funciones y derivadas. La característica principal que vi de estos temas es que son muy importantes al momento de realizar alguna actividad y poder aplicar a ese medio, también para el aprendizaje, se recomienda prestar mucha atención ante estos temas porque son un poco complicados, pero con la práctica y concentración podremos dominarlos.

OBJETIVOS:

OBJETIVO GENERAL

• Analizar los temas con cada uno de sus conceptos debidamente resumidos omitiendo ambigüedades ya su vez comprender los ejercicios expuestos para una mejor comprensión de los temas.

OBJETIVO ESPECIFICO

• Comprender cada uno de los ejercicios y conceptos planteados.
• Identificar qué tipo de función es y donde podemos aplicarla.

1. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

1.1Dominio y gráficas de funciones de varias variables.

Sea D ⊆ R2, una función f real de dos variables reales es una relación que a todo par (x, y) ∈ D, le asigna un único número real f (x, y). El conjunto D es el dominio de f y su rango es el conjunto de todos los valores que toma f (x, y).

1.2Limite y continuidad de funciones de varias variables.

Sea f una función real de dos variables reales definida en un disco abierto con centro (a, b), excepto quizás en (a, b), y sea L un número real. Se dice que el límite de f (x, y), cuando (x, y) tiende a (a, b) es L, y se escribe lim (x, y)🡪(a, b) f (x, y) = L si para todo número positivo ε existe un número positivo δ tal que:

𝗅[pic 3]

• Teorema A: Si 1 f (x, y) → L cuando (x, y) → (a, b) a lo largo de la trayectoria C1 y si 2 f (x, y) → L cuando (x, y) → (a, b) a lo largo de la trayectoria C2, donde L1 ≠ L2, entonces lim (x, y)🡪(a, b) f (x, y) no existe.
• Teorema B: Toda función polinomial de dos variables es continua en R2.
• Teorema C: Toda función racional de dos variables es continua excepto en los puntos que anulan el denominador.
• Teorema D: Si k es un número real y f y g son dos funciones reales continuas en (a, b), entonces las funciones kf, f ± g, fg, f / g, si g (a, b) ≠ 0, son continuas en (a, b).

1. Diferenciación de funciones de varias variables.

Sea f una función real de dos variables reales definida por z = f (x, y), sus derivadas parciales son las funciones fx y fy definidas por:

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Teorema A: Si las derivadas parciales fx y fy existen y son continuas en algún conjunto abierto que contenga a (a, b), entonces f es diferenciable en (a, b).

Teorema B: Si f es una función real de dos variables reales y es diferenciable en (a, b), entonces f es continua en (a, b).

Teorema C: Sean f y g dos funciones diferenciables en (a, b) y sea k una constante. Entonces las funciones kf, f ± g, fg y f / g si g (a, b) ≠ 0, son diferenciables en (a, b).

Teorema D: Sea f es una función real de dos variables reales diferenciable en (a, b), y sea g una función real de una variable real derivable en f (a, b), entonces la compuesta g o f es diferenciable en (a, b).

EJERCICIOS

• [pic 6]

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   [pic 8][pic 9]

No existe

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1. [pic 11]

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Como no existe el límite no es posible comparar esa función con g (0,0) por ende esta función no sería continua en (0,0).

• Sea . Demuestre que  [pic 14][pic 15]

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Aplicamos la regla de los exponentes

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Eliminamos términos comunes

= 2z[pic 22]

1. DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN

Cuando la función incógnita depende de dos variables independientes, son aquellas que tienen la forma

a · ux (x, y) + b · uy (x, y) + c · u (x, y) = f (x, y)

donde a, b, c ∈ IR son conocidos (|a| + |b| > 0); también es conocida la función f (x, y).

la derivada parcial de una función de primer orden es la derivada con respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes.
La derivada parcial de una función f (x, y, …) con respecto a la variable x se puede denotar

de distintas manera:

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• EJERCICIOS

• Sea f (x, y) = 5x3y2+8x2y3-5x+8y-3

Determinar:
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• f (x, y) =  [pic 28]

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1. DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Como sucede con las derivadas ordinarias, es posible hallar las segundas, terceras, etc., derivadas parciales de una función de varias variables, siempre que tales derivadas existan. Las derivadas de orden superior se denotan por el orden al que se hace la derivación.

Si , entonces no sólo z es una función de  y , también lo son  y   . Por lo que es posible diferenciar  y    para obtener derivadas parciales de segundo orden de f.[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

Por ejemplo, a continuación, la función  tiene las siguientes las siguientes derivadas Parciales De Segundo Orden, Junto Con Algunas Notaciones Que Usualmente Se Usan. (Larson, Hostetler, & Edwards, 1996)[pic 44][pic 43]

[pic 45]

          3.1 Notación para derivadas parciales de Orden superior

Tomado de (Larson, Hostetler, & Edwards, 1996)

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