Trabajo final Transformaciones lineales

Trabajo final

Transformaciones lineales

Definición y ejemplos de transformaciones

Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ∈ V un vector único Tv ∈ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar a,

T(u + v) = Tu + Tv y T(av) = aTv

Se escribe T: V W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

Ejemplo. Sea T: R3 R2 definida por T(x, y, z)=(x+y, y-z), ¿es T una transformación lineal?

u=(ux, uy, uz)

v=(vx, vy, vz)

T(u+v)=T(u)+T(v)

(ux+vx+uy+vy, uy+vy-(uz+vz))=(ux+uy, uy-uz)+(vx+vy, vy-vz)

(ux+vx+uy+vy, uy+vy-uz-vz)=(ux+uy+vx+vy, uy-uz+vy-vz)

T(av)=aT(v)

T(avx, avy, avz)=aT(vx, vy, vz)

(avx+avy, avy-avz)=a(vx+vy, vy-vz)

(avx+avy, avy-avz)=(avx+avy, avy-avz)

Representación matricial

Sea T: V → W una transformación lineal, donde V y W son espacios vectoriales. Sean e1 = (1, 0, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, 0, …, 0), e3 = (0, 0, 1 , 0, …, 0) , …, en = (0, 0, 0, …, 0, 1). Suponga que {e1, e2, e3, …, en} es una base de V. Ahora, sea T(e1) = w1, T(e2) = w2, T(e3) = w3, …, T(en) = wn. Llamamos a MT la matriz cuyas columnas son w1, w2, w3, … , wn. Entonces a la matriz MT se le llama la representación matricial de T.

Ejemplo. Sea T: R3 R2 definida por T(x, y, z)=(x+y, y-z), encontrar MT.

M_T [■(x@y@z)]=[■(x+y@y-z)]

Base R^3={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}

M_T=(T[■(1@0@0)],T[■(0@1@0)],T[■(0@0@1)])=([■(1@0)],[■(1@1)],[■(0@-1)])

M_T=[■(1&1&0@0&1&-1)]

Operaciones con transformaciones lineales y aplicaciones

Definición de núcleo e imagen (Teoría de la Dimensión)

A una transformación lineal f : V → W podemos asociarle un subespacio de V , llamado su núcleo, que de alguna manera mide el tamaño de la pre-imagen por f de un elemento de su imagen.

Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V → W una transformación lineal. Se llama núcleo de f al conjunto Nu(f) = {v ∈ V / f(v) = 0} = f-1({0}).

Otro conjunto importante asociado a una transformación lineal es su imagen. Si f : V → W, su imagen se define como Im(f) = {w ∈ W / ∃ v ∈ V, f(v) = w}. La imagen de una transformación lineal f : V → W resulta ser un subespacio de W

El siguiente resultado relaciona las dimensiones del núcleo y de la imagen de una transformación lineal con la de su dominio.

Sean V y W dos K-espacios vectoriales, V de dimensión finita, y sea f : V → W una transformación lineal. Entonces dim V = dim(Nu(f)) + dim(Im(f)).

Cambio de base

En un espacio vectorial V, dadas dos bases B y B’, se llama matriz de cambio de base (o de cambio de coordenadas) de B a B’ a la matriz que contiene en sus columnas las coordenadas de los vectores de la base B expresados en función de la base B’.

Su utilidad es la siguiente: Conocidas las coordenadas de un vector en base B, nos permitirá hallar las coordenadas de dicho vector en base B’.

En efecto, sean (a1, a2, . . . an) las coordenadas de un vector en base B, y sea P la matriz de cambio de base de B a B’. Entonces:

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