Trabajo modelos matemáticos

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Docente:

Grado académico + nombre de la persona

TÍTULO DEL TRABAJO

Autor(es/as):

Nombre(s) de la persona(s)

Managua, Nicaragua

Mes, año

Introducción

Los modelos de crecimiento exponencial aplican para cualquier situación donde el crecimiento es proporcional al tamaño actual de la cantidad de interés. ... donde C es la cantidad inicial o número, r es la tasa de crecimiento (por ejemplo, una tasa de crecimiento del 2% significa r = 0.02), y t es el tiempo transcurrido. Una función exponencial es una función que se representa con la ecuación f(x) = aˣ, en la cual la variable independiente (x) es un exponente. Aunque la función exponencial por excelencia en Matemáticas es (siendo e=2.718281...), tal es así que a esta función se la suele expresar abreviadamente como exp(x), llamándola a secas "la exponencial de x". Por otra parte, el valor presente de una inversión es cuando calculamos el valor actual que tendrá una determinada cantidad que recibiremos o pagaremos en un futuro, en el periodo acordado. El valor futuro es el valor alcanzado por un determinado capital al final del período determinado.

Objetivos

• Conocer la importancia del modelo exponencial en el desarrollo empresarial
• Aprender y analizar proyecciones de ventas y el valor que se les da a los productos.

1. (Demanda) Un fabricante estima que cuando se producen x unidades de cierto artículo, el precio de mercado P (dólares por unidad) está dado por la función demanda 𝑃=300𝑒−0.02𝑥   

a) ¿Qué precio de mercado corresponde a la producción de x= 100 unidades?

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b) Determine la función ingresos.  [pic 4]

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c) ¿Cuánto ingreso obtiene cuando se producen 100 unidades del artículo?

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 d) ¿Cuál es el valor de ingreso por ventas y el precio fijado cuando se producen x=50 unidades de un artículo?   [pic 7]

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 2. La población de Nicaragua para el año 2014 era de 5,800,000. Si la tasa de crecimiento es de 1.2% anualmente, determine los siguientes acápites

1. Calcule la población para el año 2020, 2040 y 2050. Además, proceda a realizar la gráfica, tomando en cuenta la tabla de valores proyectados desde el año 2014 al 2050

Po = 5,800,000

Tc = 1.2%

Año 0 = 2014

Año 6 = 2020

Año 26 = 2040

Año 36 = 2050

• 2020

P (6) = 5,800,000 * (1.012)6

P (6) = 6,230,330.

En el año 2020, la población crecerá exponencialmente a 6,230,330 personas

• 2040

P (26) = 5,800,000 * (1.012)26

P (26) = 7,908,995

En el año 2040, la población crecerá exponencialmente a 7,908,995 personas

• 2050

P (36) = 5,800,000 * (1.012)36

P (36) = 8,911,000

En el año 2050, la población crecerá exponencialmente a 8,911,000 personas

b) Dicha gráfica debe ser estéticamente bien definida y acotada para el rango de valores establecidos. En ella deberán incorporar títulos a los ejes, títulos de gráficos y etiquetas únicamente para los años proyectados (2020, 2040 y 2050)

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3. Una máquina se compró nueva hace 8 años y ha venido depreciándose exponencialmente. Al año comprada valía $43,800, y hace 2 años se valoró en $37,250. Encuentre una fórmula que dé su valor en miles de dólares, como función de su edad en años. ¿Cuánto costó nueva?, ¿Cuál ha sido la tasa de depreciación anual?, y ¿Cuánto vale ahora?

V(t) = abt

V (1) = ab1 = $43,800

V (6) = ab6 = $37,250[pic 12]

• ab1 = $43,800
• ab6 = $37,250

b-5 = 1.17583893

(b-5)-1/5 = (1.17583893)-1/5

b = 0.96812277

• b = 1 + r
• 0.9681227 = 1+r
• 0.9681227 – 1 = r
• R = -0.03187723

Por tanto, la tasa de depreciación anual de la máquina es de -0.03187723

V (1) = $43800

$43800 = a * (0.9681277)1

$43800/0.9681277 = a

a = $45242.20

Por tanto, el valor por el que se compró la máquina fue $45242.20 dólares.

La fórmula que da su valor en miles de dólares, como función de su edad en años sería:

V (t) = $45242.20 * (0.9681277) t 

Debido a que la actualidad es el 8vo año:

V (8) = $45242.20 * (0.9681277) 8

V (8) = $34913

El valor de la máquina en la actualidad es de $34,913 dólares.

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4.La población del planeta en 1976 era de 4 mil millones y estaba creciendo a un 2% anual. Si esta tasa de crecimiento sigue vigente, ¿cuándo alcanzará la población los 10 millones?

Solución: Cuando una población crece anualmente al 2%, esto quiere decir que su tamaño en cualquier instante es 1.02 veces lo que fue en un años antes. Así, al inicio de 1977, la población al iniciar al año de 1977, esto es, (1.02)2 X 4 mil millones. Continuamos encontrando la población de una manera forma similar, multiplicando por un factor de 1.02 por cada año que pasa:

Una población de tamaño inicial Po que crece a un R por ciento anual tendrá, después de N años, un tamaño de:

i = R / 100 = 2 / 100 = 0.02

Po= (1 + 0.02) n = (1.02) n

(1.02)2 X 4 mil millones = 1.0404 x 4 mil millones = 4.1616 mil millones

(1.02)8 X 4 mil millones = 1.1716 x 4 mil millones = 4. 6864 mil millones

(1.02)16 X 4 mil millones = 1.3727 x 4 mil millones = 5.4908 mil millones

(1.02)28 X 4 mil millones = 1.7410 x 4 mil millones = 6.964 mil millones

(1.02)40 X 4 mil millones = 2.2080 X 4 mil millones = 8.832 mil millones

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