Transformacion de Coordenadas
jorgemtz10Apuntes1 de Septiembre de 2015
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Transformación de coordenadas
En este tema aprenderá la importancia de convertir los sistemas de coordenadas para un mejor uso. En primera instancia tenemos transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas. Para llevar a cabo dicha transformación deberemos tomar en cuenta las siguientes expresiones.
[pic 1]
z
[pic 2]
p(x,y,z) CARTESIANAS[pic 3]
y[pic 4][pic 5][pic 6]
[pic 7]
x
[pic 8]ǾɸθφπФ z
[pic 9][pic 10][pic 11]
→ p(R, Ǿ ,z) CILÍNDRICAS
y[pic 12][pic 13][pic 14]
x
R=[pic 15]
Ǿ= TAN-1 (y/x)
z=z
Ejemplo: Dados los siguientes puntos 1,2,3 ; transformar a coordenadas cilíndricas.
R= [pic 16] R=[pic 17] R=2.23 | Ǿ= TAN-1 (y/x) Ǿ= TAN-1 (2/1) Ǿ=63.43° | z=z z=3 |
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CILÍNDRICAS A CARTESIANAS
Para llevar a cabo dicha transformación, deberemos de tomar en cuenta la siguiente expresión:
[pic 18]ǾɸθφπФ z
[pic 19][pic 20][pic 21]
→ p(R, Ǿ ,z) CILÍNDRICAS
y[pic 22][pic 23][pic 24]
x
[pic 25]
z
[pic 26]
p(x,y,z) CARTESIANAS[pic 27]
y[pic 28][pic 29][pic 30]
[pic 31]
x
Ejemplo: Dados los puntos (2.23, 63.4°,3) transformar a coordenadas cartesianas.
x=Rcos Ǿ
y=Rsen Ǿ=1.99
z=z=3
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CARTESIANAS A ESFÉRICAS
Para llevar a cabo dicha transformación, será necesario tomar en cuenta las siguientes expresiones.
[pic 32]
z
[pic 33]
p(x,y,z) CARTESIANAS[pic 34]
y[pic 35][pic 36][pic 37]
[pic 38]
x
→
[pic 39]
z[pic 40]
[pic 41]
p(R, θ, Ǿ) ESFÉRICAS
y[pic 42][pic 43][pic 44]
x R
R=[pic 45]
Θ=cos-1 ( z/)[pic 46]
Ǿ= TAN-1 (y/x)
Ejemplo: Dados los siguientes puntos 1,2,3 ; transformar a coordenadas esféricas.
R=[pic 47] R=[pic 48] R=3.7 | Θ=cos-1 ( z/)[pic 49] Θ=cos-1 ( 3/3.74) Θ=36.66° | Ǿ= TAN-1 (y/x) Ǿ= 63.43° |
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS ESFÉRICAS A CARTESIANAS
Para llevar a cabo dicha transformación, será necesario tomar en cuenta las siguientes expresiones.
[pic 50]
z[pic 51]
[pic 52]
p(R, θ, Ǿ) ESFÉRICAS
y[pic 53][pic 54][pic 55]
x R
z
[pic 56]
→ p(x,y,z) CARTESIANAS[pic 57]
y[pic 58][pic 59][pic 60]
[pic 61]
x
[pic 62]
x=Rcos Θsen Θ
y=Rsen Ǿ sen Θ
z=Rcos Θ
Ejemplo: Dados los siguientes puntos 3.7,36.66°,63.43° ; transformar a coordenadas cartesianas.
x=Rcos Θsen Θ X=3.7cos36.66°sen36.66° X=1.77 | Y= Rsen Ǿ sen Θ Y=1.97 | Z=Rcos Θ Z=2.96 |
CONDICIONES DE LÍMITES
Una vez que ya sabe transformar en los diferentes tipos de coordenadas, ahora es importante que comprenda los límites para las coordenadas esféricas tal y como se muestra a continuación:
[pic 63][pic 64][pic 65][pic 66]
π Ǿ[pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72]
Θ
Ej: Dado el siguiente diferencial de volumen, demuestre que efectivamente pertenece al volumen de una esfera
...