USO E IMPORTANCIA DE LAS INTEGRALES

USO E IMPORTANCIA DE LAS INTEGRALES

USO : Las integrales y derivadas son muy útiles para resolver casi todos los problemas de la física, ya que estos se modelizan con ecuaciones que en su mayoría son diferenciales. Las ondas electromagnéticas, en el cálculo de la carga total, el calor, el movimiento, (ley de Gauss y trabajo eléctrico) etc. Estas se rigen por leyes que se pueden modelizar con estas ecuaciones, no hablemos de lo mas elemental como hallar la recta tangente a una curva, la ecuación de la cinemática o hallar un área que son las primeras aplicaciones que vemos.

En la modernidad todos los sistemas de simulación resuelven cientos de miles de ecuaciones diferenciales, y todos los métodos computacionales usan métodos numéricos que resuelven cientos de miles de integrales. La estadística con aplicaciones que van desde la demostración de por qué la función Gaussiana es normal.

IMPORTANCIA: las integrales primitivas y conjuntos invariantes reside en que permiten entender la estructura orbital del campo de vectores. En Física es particularmente importante el poder obtener soluciones exactas o aproximadas de una ecuación diferencial, y en este sentido las integrales primitivas y los conjuntos invariantes son elementos particularmente relevantes.

Su ausencia indica la posible existencia de fenómenos como caos o turbulencia. la presencia de integrales primitivas y conjuntos invariantes simplifica notablemente las soluciones de una ecuación diferencial, así como la complejidad geométrica de estas soluciones en el espacio de fases

Teorema en integrales dobles definidas

A lo largo de este trabajo se estudia el problema de hallar la velocidad relativa media para las moléculas en un gas, el método utilizado conduce al problema de hallar el valor numérico de la integral doble definida para una función no integrable en forma acotada.

El calculo de la velocidad relativa media tiene importancia para determinar el recorrido libre medio de las moléculas en los gases, lo cual a su vez es necesario para hallar los valores de las conductividades térmicas y la viscosidades de los mismos.

Velocidad relativa entre las moléculas de los gases

Es posible demostrar que si una partícula con velocidad ( v ), incide en un conjunto de partículas que poseen una velocidad (v0) en movimiento desordenado por igual en todas direcciones, la velocidad relativa (Vr) de la partícula incidente con respecto al conjunto esta dada por las formulas que se aplican según la relación entre las velocidades

La velocidad relativa media (Vrm) de una partícula incidente con respecto a un

conjunto de partículas con diversas velocidades, la podemos calcular en la forma:

Ahora bien: supongamos que el conjunto de partículas (gas) no tiene un conjunto finito de velocidades determinadas para todas ellas, sino un conjunto continuo de velocidades (distribución de moléculas por velocidades). En tal caso el cálculo de la velocidad relativa media de la partícula incidente(Vrm) con respecto al conjunto,

deberá estar calculado por las integrales:

El factor (1/n) es para “normalizar” el resultado.

Si queremos calcular la velocidad relativa media entre todas las moléculas del gas (VR ) ,podemos considerar como si la molécula incidente fuera parte del conjunto de las moléculas que componen el gas, de manera que podemos tratar matemáticamente el calculo de la velocidad relativa media entre todas las moléculas teniendo en cuenta la expresión [3] y considerando a la partícula incidente a su vez como parte de un conjunto dn de las moléculas pertenecientes al gas en la forma:

Siendo dn la función que indica la cantidad de moléculas con velocidades v en el intervalo dv

Teniendo en cuenta las expresiones [3] y [4], y los casos en los cuales las formulas se aplican podemos escribir

Distribución de moléculas por velocidades de Maxwell

Es conocido el problema de calcular la velocidad relativa media de las moléculas para un gas con una distribución por velocidades de Maxwell

En la distribución de Maxwell, la cantidad relativa de moléculas ( dn ) contenidas en un intervalo de velocidades ( dv )

Siendo k un valor de normalización

Si aplicamos la formula para VR a esta distribución:

La primer integral doble

No se puede expresar como una función acotada

Si no podemos determinar de modo exacto dicha integral entre los limites(vo, ∞ ), entonces no podremos realizar de modo exacto la integral que sigue, es aquí que se necesita un método para poder determinar la integral doble entre los limites definidos de modo exacto.

Además en el caso de las otras integrales que si pueden hacerse en el primer paso, ya no se pueden integrar de modo exacto en el segundo (aunque aquí la integrales definidas de dichas funciones son conocidas).

Es posible realizar la integral mediante un esquema que se presenta en el grafico que sigue:

De acuerdo al grafico, se comienza el calculo de la velocidad relativa del grupo de partículas dN1, con respecto a los grupos dn1, dn2, dn3,...,con velocidades propias

que van desde cero hasta la velocidad v0 de las partículas del conjunto dN1 (entre los limites donde es valida la formula [1] para el calculo de la velocidad relativa)

Luego se continua la misma operación para el conjunto dN2 ,(con los valores Vr′),y para los demás conjuntos sucesivamente

En esta manera de calcular, es evidente que falta realizar la suma para todas las moléculas con velocidades superiores a la del conjunto dN1, (desde v0 hasta ∞ ), también faltaría la suma para las moléculas con velocidades superiores a la del conjunto dN2, lo mismo para el conjunto dN3, y así sucesivamente, es decir que la suma anterior es un calculo parcial

Se denomina como A esta suma parcial y B al faltante

Para comenzar solo se procede a realizar la suma parcial

Como suma algebraica, A se puede escribir:

Reagrupando los términos de la serie:

Esta sumatoria desde cero hasta el infinito es equivalente al calculo de la sumatoria de las velocidades relativas de los grupos dn con respecto a los conjuntos de partículas dN1, dN2, dN3,...etc , con velocidades superiores a la de los conjuntos dn(para los cuales es valida la formula [2] para el calculo de las velocidades relativas),lo cual puede apreciarse en el grafico. La serie [7] resulta igual a la serie [6] solo que han permutado las denominaciones de los conjuntos (Es decir que el faltante B es igual a la suma parcial A )

Esto implica que las integrales para la velocidad relativa de las partículas de velocidades menores y mayores a las del grupo dN son iguales.

Dado que dn ≡ dN (se diferenciaron solo para clarificar la suma)

Es evidente que si la integral definida que buscamos es la suma de dos integrales definidas iguales en valor numérico, es lo mismo poder escribir el resultado como el doble de cualquiera de dichas integrales definidas.

Entonces la integral definida [5], puede escribirse en las formas:

La cual puede usarse la que mas convenga para el calculo, para el caso de la distribución de moléculas de Maxwell, la primera de ellas es la que permite hallar el valor mediante funciones acotadas. También puede usarse para simplificar las operaciones en cualquier otro caso, pues en vez de tener que calcular dos integrales de la expresión [5], basta con el valor numérico doble de cualquiera de las integrales definidas.

En forma genérica, las integrales anteriores se escriben en la forma:

Para el calculo de la velocidad relativa media correspondiente a la distribución de moléculas por velocidades de Maxwell, es la segunda integral la que nos permite hallar el valor de VR, en efecto, es con la aplicación de la formula [2]cuando las moléculas tienen velocidades menores a la del conjunto dN, que la integral toma la forma

Esta integral doble sí puede expresarse como funciones acotadas, y valores conocidos

Para aclarar la integral, diremos que la primera se hace con respecto a dv,tomando a v0 como constante, luego para la segunda integración, tenemos en cuenta que las magnitudes de los conjuntos dN se distribuyen de acuerdo a la variable v0 de la misma forma en la que los conjuntos dn se distribuyen de acuerdo a la variable v ,es decir la distribución maxwelliana: se han diferenciado solo a fines de distinguir ambos grupos

Si se realiza el calculo, se vera que la integral conduce a la relación conocida entre la velocidad media y la velocidad relativa media para un gas con distribución de moléculas por velocidades de Maxwell

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