Un diagrama de cuerpo libre

OBJETIVO

Por medio de este trabajo de investigación se pretende recordar u aprender lo visto en algunas materias anteriores a mecánica de fluidos, como son: estática y dinámica. Referente a estas materias en los temas de diagramas de cuerpo libre; así como la determinación de los momentos de áreas de primer y segundo orden. Y una vez estudiados e investigados estos temas, poder desarrollar e integrar estos métodos al análisis de problemas relacionados con mecánica de fluidos. Como son de presión, referente al tema de hidrostática, etc.

Diagramas de cuerpo libre:

Cuando sobre un cuerpo actúan más de una fuerza, aplicar el segundo principio de Newton tiene

sus secretos. Comprendamos que esta ecuación es vectorial y por lo tanto, puede suceder que

las fuerzas actuantes lo hagan en distintas direcciones.

Gracias al principio de independencia de Galileo, podemos descomponer los movimientos en

varias direcciones y por lo tanto, las causas de éstos (Las fuerzas) también. Esto hacemos cuando

confeccionamos un diagrama de cuerpo libre. Veamos un ejemplo: Supongamos que varias

fuerzas actúan sobre un cuerpo como indica la figura.

Colocaremos el cuerpo sobre un sistema de coordenadas y

descompondremos toda fuerza que no se encuentre sobre los ejes

coordenados, hallando una componente en el eje X y otra en el eje Y.

En este caso y debido al sistema adoptado la única fuerza que habrá

que descomponer es F1.La ecuación a aplicar es:

ΣF = m.a

Y las componentes de F1 en los ejes son:

F1x = F1.cosα

F2x = F1.senα

Aplicamos el segundo principio de Newton para cada eje:

Eje X:

Σ Fx = m.a

F1x - F3 = m.a

F1.cosα - F3 = m.a

Obsérvese que F3 resta porque se encuentra en el lado negativo del eje X

Eje Y: Σ Fy = m.a

F1y - F2 = m.a

F1.senα - F2 = m.a

Como en el caso anterior, F2 resta porque su sentido es coincidente con en el lado negativo del

eje Y

Un diagrama de cuerpo libre (DCL) es un diagrama vectorial que describe todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo u objeto en particular *. Consiste en colocar la partícula en el origen de un plano de coordenadas, y representar a las fuerzas que actúan sobre ella por medio de los vectores correspondientes, todos concurrentes en el origen.

La mayor aplicación de los DCL es visualizar mejor el sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo; además, se identifican mejor las fuerzas pares, como la de acción - reacción y las componentes de las fuerzas. Si en un sistema existen dos o más cuerpos de interés, éstos se deben separar y cada uno tiene un DCL propio con sus respectivas fuerzas actuando.

Ejemplo. Construya el DCL para el siguiente sistema:

La partícula de interés para éste caso es el bloque de masa m, pero para el caso, las fuerzas concurren en un mismo punto, el nodo que une las tres cuerdas de la figura. Entonces, el origen de coordenadas se situará en ése punto. Las fuerzas que actúan son: la tensión de la cuerda A (Ta), la tensión de la cuerda B (Tb) y el peso w del bloque de masa m.

En algunos casos, es conveniente girar el eje de coordenadas. Esto normalmente se hace cuando la partícula tiene un movimiento sobre una superficie inclinada, y se facilita el cálculo de las componentes si los ejes tienen la misma dirección de la superficie.

PRIMER MOMENTO DE AREA

El primer momento de área (también momento estático o de primer orden) es una magnitud geométrica que se define para un área plana. Normalmente aparece en el contexto del cálculo de vigas en ingeniería estructural, en particular la tensión cortante media dada por la fórmula de Collignon, que es proporcional al primer momento de área de una subsección de la sección transversal de la viga. El primer momento de área coincide con el producto del área total multiplicado por la distancia entre el punto considerado al centroide del área.}

Primer momento de área

Los momentos de primer orden de un área, se designan por la letra S o Q. Dado un eje o recta se define el primer momento de área de el área respecto a un eje de ecuación viene dado por la integral sobre el área de la distancia al eje fijado:

Si consideramos coordenadas x e y centradas en el centro de masas y se calculan los primeros momentos de área respecto a los ejes coordenados, por la propia definición de centro de masas:

Eso implica que para cualquier otro eje que pase por el centro de gravedad de la sección se tiene:

El cálculo respecto a un eje cualquiera que no pase por en centro de masas es trivial ya que:

Donde resulta que c coincide con la distancia de ese eje al centro de gravedad y el resultado anterior es el equivalente del teorema de Steiner para el primer momento de área.

[editar]Primer momento de área parcial

Área parcial para el cálculo de la tensión cortante.

Como se ha visto en la sección anterior el primer momento de área calculado respecto al centro de gravedad de la sección es siempre nulo. Sin embargo, si se considera un área parcial de una sección y se calcula el primer momento de área respecto al centro de gravedad de la sección completa el resultado no es cero. Designaremos a este primer momento de área parcial por la letra y su valor vendrá dado por:

Para una sección rectangular de dimensiones 2h x b se tiene:

El cálculo de este momento se requiere para el cálculo de la tensión cortante sobre la línea punteada (ver figura) de acuerdo con la fórmula de Collignon-Jourawski (o Collignon-Zhuravski).

[editar]Segundo momento de área

Artículo principal: Segundo momento de área.

Análogamente al primer momento de área se define el segundo momento de área, o momento de inercia, como:

Que puede expresarse en función de los segundos momentos de área respecto al centro de masas como:

Este último resultado de demostración inmediata se conoce como teorema de Steiner.

[editar]Momentos de área de orden superior

En general se definen los n-ésimos momento de área de una área plana como las integrales del tipo:

Donde la integral se extiende sobre sobre todo el dominio plano A de ℝ² y donde la distancia r es la distancia a un eje contenido en el mismo plano que contiene al área. En particular se definen los dos momentos n-ésimos de área como:

http://es.wikipedia.org/wiki/Primer_momento_de_%C3%A1rea

SEGUNDO MOMENTO O MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA.

Por ejemplo, considérese una viga de sección transversal uniforme la cual está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se dice que una viga en tales condiciones está en flexión pura y en la mecánica de materiales se demuestra que en las fuerzas internas en cualquier sección de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes varían linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de área y un eje que pasa a través del centroide de la sección. Dicho eje representado por x como en la figura 9.1, se conoce como el eje neutro. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas de compresión, mientras que las fuerzas en el otro lado son fuerzas de tensión; sobre el propio eje neutro de las fuerzas son iguales a cero.

La magnitud de la resultante R de las fuerzas elementales F que actúan sobre toda la sección está dada por la fórmula

La última integral obtenida se conoce como el primer momento Qx de la sección con respecto del eje x; dicha cantidad es igual a YA y por lo tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la sección está localizado sobre el eje x. Por consiguiente el sistema de fuerzas F se reduce a un par. La magnitud m de dicho par debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = Ky2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre toda la sección se obtiene:

La última integral se conoce como segundo momento o momento de inercia, de la sección de la viga con respecto del eje x y se representa con Ix. El segundo momento se obtiene multiplicando cada elemento de área dA por el cuadrado de su distancia desde el eje x e integrándolo sobre la sección de la viga. Como cada producto y2 dA es positivo, sin importar el signo de y, o cero, la integral Ix siempre será positiva. Otro ejemplo de un segundo momento, o momento de inercia de un área lo proporciona el siguiente problema de hidrostática:

Una compuerta circular vertical utilizada para cerrar el escurridero de un gran depósito está sumergida bajo agua como muestra la figura. ¿cuál es la resultante de las fuerzas ejercidas por el agua sobre la compuerta y cual es el momento de la resultante con respecto de la línea de intersección del plano de la compuerta y la superficie del agua ( eje x)?.

Si la compuerta

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