VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL

       UNIDAD EDUCATIVA                                                             APELLIDOS: ___________________

INSTITUTO “CECILIO ACOSTA”                                                    NOMBRES: ___________________

             MATEMÁTICA                                                                   CURSO: _____ SECC: _____  Nº ____

RELACIONES DE ORDEN

        Las relaciones de Orden matemáticamente hablando, tienen como principio fundamental la comparación de dos cantidades numéricas.

        Si tenemos dos números cualesquiera “a y “b”, sólo es posible establecer entre ellos al siguiente comparación:

             1.- Si poseen el mismo número de unidades, son iguales, y se escribe: a  =  b. También podemos decir que dos números son iguales, si su diferencia es igual  cero: a  -  b  =  0. 

             2.- Si uno de ellos posee más unidades que el otro, decimos que son desiguales o diferentes y se escribe: a  [pic 1]  b.

1. Si uno de ellos, por ejemplo “a”  posee más unidades que otro número “b”, se dice que es mayor, y lo escribimos: a  >  b. También, cuando su diferencia es un número real positivo: a  -  b  >  0.

1. Si por el contrario “a” posee menos unidades que otro número “b”, decimos que: a es menor que b y lo escribimos: a  <  b. De igual, si su diferencia es igual a un número real negativo: a  -  b  <  0. 

En conclusión,   Para ello, se utilizan las siguientes expresiones: [pic 2]

        Un número real es mayor que otro, si en la Recta Real (Recta numérica) está ubicado a la derecha

[pic 3][pic 4]

[pic 6][pic 5]

        En general:

            Sean “a”  y  “b” dos números reales dados [pic 7], decimos que “a” es mayor que “b”, si “a” está situado a la derecha de “b” sobre la Recta Numérica.

        Se denota así: a   >   b  y se lee: “a es mayor que b”.

        Análogamente podemos establecer:  

        Dados dos números reales “a”  y  “b” [pic 8], decimos que: “a” es menor que “b”, si está ubicado a la izquierda de “b”.

        Se denota así: a  <   b  y se lee: a es menor que b.

        CONCLUSIONES:

          En una Recta Numérica podemos concluir:

             1.- Si un punto (número real) está a la derecha de otro (punto numérico), su coordenada es mayor.

              2.- Si un punto (número real) está a la izquierda de otro ( punto numérico), su coordenada es menor.

EJEMPLOS:

RELACIÓN ES: “MAYOR O IGUAL QUE”

        Dados dos números reales “a”  y  “b”, decimos que el número real a es mayor o igual que b, si se cumple alguna de las siguientes dos condiciones:

                                                  Sí  a  [pic 9]   b   se cumple que:[pic 10]

        Estas dos condiciones se denotan así: [pic 11]

RELACIÓN: “ES MENOR O IGUAL QUE”

        Cuando una de las tres posibilidades no se cumple, necesariamente tiene que verificarse una de las otras dos. Así:

             Si  a  no es igual a  b, necesariamente: a  >  b  ó  a  <  b       ( 1 )

            Si  a  no es mayor que  b, necesariamente: a  =  b  ó  a  <  b, lo cual se escribe: [pic 12]  ( 2 )  

            Si  a  no es menor que b, necesariamente: a  =  b  ó  a  >  b, lo cual reescribe: [pic 13]  ( 3 )

        Para expresar que un número no es igual a otro se usa el signo [pic 14], que es el signo = cruzado por una raya inclinada de derecha a izquierda; para indicar que no es mayor que otro, se emplea el signo />, y para  señalar que no es menor que otro se utiliza el signo  /<.

Utilizando los signos: [pic 15],  >  y  <, las relaciones ( 1 ), ( 2 ) y ( 3 ) pueden escribirse:

             Sí  a  [pic 16] b, necesariamente: a  >  b  ó  a <  b

             Sí  a  >   b, necesariamente: a  =  b  ó  a < b ( a [pic 17] b )

[pic 18]

            Sí  a  <   b, necesariamente: a  =  b  ó  a > b ( a [pic 19] b )

        Vemos que el signo [pic 20] ( no es igual ) equivale al doble sigo > ó < ( mayor o menor que ); el signo  />  (no mayor) equivale al doble sino [pic 21] (menor o igual que ) y el signo /< ( no menor ) equivale al doble signo [pic 22] (mayor o igual que)

LEYES DE LA IGUALDAD

        Las Leyes o caracteres de la Igualdad, son tres:

1. Ley Reflexiva ó Identidad: Todo número Real es igual a si mismo.

                                                    [pic 23]

1. Ley Simétrica: Si un número Real “a” es igual a otro número Real “b”, este es igual al primero.

                                   [pic 24] 

1. Ley Transitiva: Si un número Real “a” es igual a otro número Real “b” y este igual a un tercer número Real “c”, entonces el primero y el tercero son iguales.

                                        [pic 25]

LEYES DE LA DESIGUALDAD

En las desigualdades no existe la Ley Reflexiva ó de Identidad; ya que es imposible que un número Real “a” sea mayor o menor que él mismo. Así, que es imposible que:

a   >  a  ó que  a   <   a.

Tampoco existe la Ley Simétrica el carácter reciproco. Si un número Real “a” es mayor que otro número Real “b”, este último no puede ser mayor que el primero, sino menor. Así, siendo que:                                              

 a  >  b  no se verifica que b  <  a, sino que b  <  a.

Lo anterior nos dice que: si se invierten los miembros de una desigualdad, cambia el sentido de la desigualdad. Así:

Para invertir la desigualdad: 5  <  7  hay que escribir: 7  >  5

LEYES DE LAS DESIGUALDADES MAYOR Y MENOR QUE

Ley Transitiva de las desigualdades

1. Sí un número Real “a” es mayor que otro número Real “b” y este es mayor que un tercero “c”, entonces el primero ( a ) es mayor que el tercero ( c ).

                                             [pic 26] 

                                             [pic 27]

                2) Sí un número Real “a” es menor que otro número Real “b” y este menor que un tercero “c”, entonces se cumple que: El primero ( a ) es menor que el tercero ( c ).

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