Valor Absoluto

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real se define como:

x,si x≥0

|x|=

-x,si x<0

Geométricamente el valor absoluto de un número real representa la distancia del punto a al origen.

Propiedades del Valor Absoluto

Teorema

∀x ∈R se cumple que:

1.|x|≥0

2.|x|=0↔x=0

3.|x|^2=x^2

4.√(x^2 )=|x|

5.-|x|≤x≤|x|

Teorema

∀x a,b∈R,donde b>0,se cumple que:

1.|x|≤b↔-b≤x≤b

2.|x-a|≤b↔-b≤x-a≤b

3.|x|≥b↔x≥b v x≤-b

Teorema

1. Desigualdad triangular: El valor absoluto de la suma de dos números a,b ∈R es menor o igual a la suma de sus valores absolutos, es decir:

|a+b|≤|a|+|b|

CLASE Nº 22

2. El valor absoluto del producto de dos números a,b ∈R es igual al producto de sus valores absolutos, es decir:

|ab|=|a||b|

3. El valor absoluto del cociente de dos números a,b ∈R es igual al cociente de sus valores absolutos, es decir:

|a/b|=|a|/|b|

EJERCICIOS

1. |x-6|=10 Usando la propiedad

- 6 + |x-6|=10

x – 6 -

+

x-6=10  x-6=-10

x=16  x=-4

I_(1.) x∈├]-∞,6] I_(2.) x∈├]6,+∞┤[

|x-6|=10 |x-6|=10

-x+6=10 x-6=10

-x=4 x=16

x=-4

2. |x-5|≥4 Usando la propiedad

|x-5|≥4

- 5 + x-5≥4  x-5≤-4

x – 5 -

+

x≥9  x≤1

I_(1.) x∈├]-∞,5] I_(2.) x∈├]5,+∞┤[

|x-5|≥4 |x-5|≥4

-x+5≥4 x-5≥4

-x≥-1 x≥9

x≤1 x∈[9,+∞┤[

x∈├]-∞,1]

x∈├]-∞,1]∪[9,+∞┤[

CLASE Nº 22

3. |x+3|≤7 Usando la propiedad |x+3|≤7

X + 3 -

+

- -3 + -7≤x+3≤7

-10≤x≤4

I_(1.) x∈├]-∞,-3] I_(2.) x∈├]-3,+∞┤[

|x+3|≤7 |x+3|≤7

-x-3≤7 x+3≤7

-x≤10 x≤4

x≥-10 x∈├]-3,4]

x∈[-10,-3]

x∈[-10,-3]∪├]-3,4]

x∈[-10,4]

4. |5x+2|<3

-3<5x+2<3

-5<5x<1

-1<x<1/5

5. |3-x|≤2

-2≤3-x≤2

-5≤-x≤-1

5≥x≥1

1≤x≤5

6. |2x-3|≥-5

(+) ≥(-)

x∈R

7. |5-2x|≥7

5-2x≥7  5-2x≤-7

-2x≥2  -2x≤-12

x≤-1  x≥6

8. |(|x-3|+7)|≥2

(+) ≥2

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