Valor Absoluto

VALOR ABSOLUTO

Cualquier número tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia del punto al origen. Observe en el dibujo que la distancia del 3 al origen es 3 unidades, igualmente la distancia del punto -3 al origen es 3. En notación, esto es

|3| = 3 −. Las barras se leen como el valor absoluto de lo que está dentro de ellas. En el valor absoluto no importa en qué lado de la recta real está representado el número. Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir está a la derecha del cero, entonces |a| = a y si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces |a|=-a. Esto lo escribimos en la siguiente definición

En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Valor absoluto de un número real

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por: ejemplos básicos:

Note que, por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real

Propiedades fundamentales

No negatividad

Definición positiva

Propiedad multiplicativa

Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

Otras propiedades

Simetría

Identidad de indiscernibles

Desigualdad triangular

(equivalente a la propiedad aditiva)

Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

a. El valor absoluto de la suma algebraica de varios números reales no es mayor que la suma de los valores absolutos de los sumandos:

b. El valor absoluto de la diferencia de dos números reales no es menor que la diferencia de los valores absolutos del minuendo y sustraendo: .

2) 3- El valor absoluto del producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores: | xyz | = | x | | y | | z |.

3) El valor absoluto del cociente es igual al cociente de dividir el valor absoluto del dividendo por el del divisor: .

Otras dos útiles inecuaciones son:

•

•

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

Valor absoluto de un número complejo

El valor absoluto de un número complejo es la distancia desde al origen. Aquí vemos que y su conjugado tienen el mismo valor absoluto.

Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:

De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente

...