Valor Absoluto

En el capítulo 1 definimos el valor absoluto de un número real , que representamos por , mediante

También observamos en dicho capítulo que representa la distancia del origen al punto , y de forma mas general que representa la distancia entre y .

Las propiedades siguientes del valor absoluto nos indican que este se comporta muy bien con respecto a la multiplicación y la división, pero no así con respecto a la adición y la sustracción.

Propiedades del valor absoluto. Si y son números reales arbitrarios entonces

1.

2.

3. ,

4. (Desigualdad triangular)

5. y

La interpretación geométrica de nos proporciona una justificación de las siguientes dos propiedades

Sea . Entonces

6. es equivalente a

7. es equivalente a o

Gráficamente tenemos

Otra propiedad del valor absoluto, muy utilizada en la solución de desigualdades, es la siguiente

8. es equivalente a

En las propiedades (6) a (8) el símbolo puede remplazarse por .

Ejemplo 2.49. Resolvamos la desigualdad .

Utilizando la propiedad (6), tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:

Por lo tanto, la solución de la desigualdad es el intervalo .

Ejemplo 2.50. Resolvamos la desigualdad .

La propiedad (7) nos dice que la desigualdad es equivalente a

Resolviendo

o sea

Por lo tanto, la solución de la desigualdad dada es

Ejemplo 2.51. Resolvamos la desigualdad .

Utilizando la propiedad (8) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:

Elaborando un diagrama de signos tenemos

Signo de + - -

Signo de - - +

Signo de - + -

Vemos que la solución de la desigualdad es .

Valor absoluto

Valor absoluto de un números entero

El valor absoluto de un número entero es el número naturalque resulta al suprimir su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

|−5| = 5

|5| = 5

Valor absoluto de un número real

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a esnegativo.

|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0

|x| = 2 x = −2 x = 2

|x|< 2 − 2< x < 2 x (−2, 2 )

|x|> 2 x< −2 ó x>2 (−∞ , −2) (2, +∞)

|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5

− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7

Propiedades del valor absoluto

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a • b| = |a| •|b|

|5 • (−2)| = |5| • |(−2)| |− 10| = |5| • |2| 10 = 10

3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| = |5| + |2| 3 ≤ 7

Función valor absoluto

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia

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