Valor Absoluto

1

Cap ́ ıtulo 5

Valor Absoluto

M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodr ́ ıguez S.

Instituto Tecnol ́gico de Costa Rica

o

Escuela de Matem ́tica

a

···

Revista digital Matem ́tica, educaci ́n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

a o

2

Cr ́ditos

e

́

Primera edici ́n impresa:

o Rosario Alvarez, 1984.

Edici ́n LaTeX:

o Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac ́n, Marianela Abarca, Lisseth Angulo.

o

y Walter Mora.

Colaboradores: Cristhian Pa ́z, Alex Borb ́n, Juan Jos ́ Fallas, Jeffrey Chavarr ́

e o e ıa

Edici ́n y composici ́n final:

o o Walter Mora.

Gr ́ficos:

a Walter Mora, Marieth Villalobos.

Comentarios y correcciones: escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Contenido

5.1 Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

5.1.1 Propiedades del valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5.1.2 Ecuaciones que involucran valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.1.3 Inecuaciones que involucran valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.1 Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto

Nuestro objetivo en este cap ́

ıtulo es lograr que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones que involucran

valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma ax + b, donde a y b son constantes reales con a = 0, y x

es una variable real.

Para esto conviene recordar la definici ́n de valor absoluto siguiente:

o

Para cada n ́mero real x, se define su valor absoluto (y se denota |x| ) de la siguiente manera:

u

|x| = x si x ≥ 0

o

|x| = −x si x < 0

Esta definici ́n frecuentemente se denota de la siguiente manera:

o

x si x≥0

|x| =

−x si x<0

Aplicando esta definici ́n a expresiones de la forma ax + b se tiene:

o

ax + b si ax + b ≥ 0

|ax + b| =

−(ax + b) si ax + b < 0

Usando la definici ́n de valor absoluto se tiene:

o

Ejemplo 1



x+5 si x+5≥0



|x + 5| =



−(x + 5) si x+5<0

3

4 Valor Absoluto

pero: x+5≥0 ⇐⇒ x ≥ −5

y x +  < 0 ⇐⇒

5 x < −5

x+5 si x ≥ −5



∴ |x + 5| =



−(x + 5) si x < −5

Para efectos de lograr mayor claridad podemos resumir esta informaci ́n en la tabla siguiente:

o

−∞ −5 +∞

|x + 5| −(x + 5) x+5

Ejemplo 2



x−7 si x−7≥0



|x − 7| =



−(x − 7) si x−7<0

pero: x−7≥0 ⇐⇒ x≥7

y x−7<0 ⇐⇒ x<7



x−7 si x≥7



∴ |x − 7| =



−(x − 7) si x<7

y en forma resumida podemos escribir:

−∞ 7 +∞

|x − 7| −(x − 7) x−7

Ejemplo 3



−2x + 3 si −2x + 3 ≥ 0



| − 2x + 3| =



−(−2x + 3) si −2x + 3 < 0

3

pero: −2x + 3 ≥ 0 ⇐⇒ −2x ≥ −3, o sea x≤

2

3

y −2x + 3 < 0 ⇐⇒ −2x < −3, o sea x>

2

 3

 −2x + 3 si x ≥



 2

∴ | − 2x + 3| =



 3

 −(−2x + 3) si x <

2

y en forma resumida podemos escribir:

J. Rodr ́ıguez S. A. Astorga M. 5

−∞ 3/2 +∞

| − 2x + 3| −2x + 3 −(−2x + 3)

Ejemplo 4



−3 − 5x si −3 − 5x ≥ 0



| − 3 − 5x| =



−(−3 − 5x) si −3 − 5x < 0

−3

pero: −3 − 5x ≥ 0 ⇐⇒ −5x ≥ 3, o sea x≤

5

−3

y −3 − 5x < 0 ⇐⇒ −5x < 3, o sea x>

5

 −3

 −3 − 5x si x ≤



 5

∴ | − 3 − 5x| =





 −(−3 − 5x) si x > −3

5

y en forma resumida podemos escribir:

−∞ −3/5 +∞

| − 3 − 5x| −3 − 5x −(−3 − 5x)

5.1.1 Propiedades del valor absoluto

Enunciaremos a continuaci ́n algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podr ́n ser utilizadas para fa-

o a

cilitar el trabajo en la resoluci ́n de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto.

o

Propiedad 1

∀x, x ∈ R : |x| ≥ 0

Demostraci ́n o



x si x≥0



x ∈ R : |x| =



−x si x<0

Hay dos posibles casos:

Caso 1: x ≥ 0

x ≥ 0 =⇒ |x| = x

∴ |x| ≥ 0

6 Valor Absoluto

Caso 2: x < 0

x < 0 =⇒ |x| = −x

∴ |x| ≥ 0; pues x < 0 =⇒ −x > 0

Propiedad 2

Si x ∈ R y |x| = 0 entonces x = 0

Demostraci ́n: (ejercicio para el estudiante)

o

Propiedad 3

Si x ∈ R, y ∈ R entonces |x · y| = |x| |y|

Demostraci ́n o

Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:

√

an , si n es par (ver p ́gina 94)

n

∀a, a ∈ R : |a| = a

en particular:

√

a2 ; ∀a, a ∈ R

|a| =

Usando esta definici ́n se tiene que:

...