UNIDAD I DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

ESTADISTICA II

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS      CONTINUAS.

Variables aleatorias continuas 

Definición: Una función f(x):R→ [0,[pic 1]), se dice que es una función de densidad de una variable aleatoria continua X si cumple las dos siguientes condiciones:

1. f(x)≥0
2. [pic 2]

Ejemplo 1:

En una serviteca automotriz, el tiempo de atención (en horas) de un cliente es una v.a. cuya función de densidad está dada por:

[pic 3]

1. Cuál es la v.a.
2. Es f(x) una función de densidad?
3. Elabore una gráfica x vs. f(x)

[pic 4]

Función de distribución F(x) o Función acumulada

La razón de ser de esta función está fundamentada en el hecho de que una variable estadística como por ejemplo el tiempo de vida de un paciente con VIH  tenga unos valores determinados con una probabilidad incluida. Por ejemplo, la probabilidad de que el paciente sobreviva un máximo de n años o un mínimo de n años, es una información importante para los actores incluidos en este tipo de situaciones.

La probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar dure máximo un año después de diagnosticar la enfermedad P (X≤ 1) es de 0.613, es decir el 61.3% de este tipo de pacientes fallecen bajo esta circunstancias. (American Cáncer Society)

Definición:

La función de distribución o Función Acumulada de -∞ hasta un punto cualquiera x, está dada por:

[pic 5]

1. Determine la función de distribución F(x)
2. Elabore una gráfica X vs. F(x)

1. Compruebe que la derivada de la función de distribución corresponde a la función de densidad

Probabilidad entre dos puntos: [a, b]

[pic 6], es decir la probabilidad entre dos puntos a y b, equivale al área entre esos dos puntos de esa función

 También  [pic 7]

Gráficamente:

[pic 8]

Probabilidad bajo un punto cualquiera c:[pic 9]

P(X=c)

Bajo un punto no hay área por lo tanto P(X=c) =0, es decir:

[pic 10]

En consecuencia:

P (X ≤ x) = P(X < x) + P(X= x)

P (X ≥ x) = P(X > x) + P(X= x)

P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b)= P(a < X ≤ b)= P(a ≤ X < b)

Aplique la función de distribución para calcular la probabilidad de que el tiempo de atención sea:

1. Cuando mucho 1.5 horas
2. Más de 1.5 horas
3. Entre 0.5 y 2 horas
4. Sea igual a 2 horas
5. Obtenga xi tal que P(X≤ xi)=0.05
6. Obtenga xi tal que P(X≥ xi)=0.90
7. Obtenga a y b tal que P(a ≤ X≤ b)=0.80
8. Obtenga xi tal que P(X≤ xi)=0.99
9. Obtenga xi tal que P(X≥ xi)=0.20
10. Obtenga a y b tal que P(a ≤ X≤ b)=0.90

ESPERANZA Y VARIANZA DE UNA V.A. CONTINUA

Esperanza:

Definición: Sea X una v.a. continua definida sobre un espacio muestral Ω y sea f la función de densidad de X, entonces la esperanza (o promedio o valor esperado), de X simbolizada por µ o E(X) se define mediante:

µ = E(X)= [pic 11]

Varianza:

Definición: Sea X una v.a. continua definida sobre un espacio muestral [pic 12] y sea f la función de densidad de X, entonces la varianza de X simbolizada por σ2 o V(X)  se define mediante:

σ2 = V(X) = E(X2) - [E(X)]2   donde

E(X2) = [pic 13]

1. Determine e interprete la esperanza y la varianza para el ejemplo 1

Ejemplo 2:  [pic 14]

El tiempo de reacción de cierta sustancia química es una variable aleatoria, cuya función de densidad está dada por:

[pic 15]

1. Verifique si f(x) es una función de densidad

1. Elabore una gráfica x vs. f(x)
2. Determine la función de distribución

Con la función de distribución calcule  la probabilidad de que el tiempo de reacción sea:

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