Modelos estocásticos dinámicos

[pic 1]

Academia de Ciencias Matemáticas, Físico-Químicas y Naturales de Granada

MODELOS ESTOCÁSTICOS DINÁMICOS

Discurso leído en el acto de su recepción como académico numerario por el

ILMO. SR. D.

MARIANO J. VALDERRAMA BONNET

GRANADA, 2009

[pic 2]

Academia de Ciencias Matemáticas, Físico-Químicas y Naturales de Granada

MODELOS ESTOCÁSTICOS DINÁMICOS

Discurso leído en el acto de su recepción como académico numerario por el

ILMO. SR. D.

MARIANO J. VALDERRAMA BONNET

GRANADA, 2009

MODELOS ESTOCÁSTICOS DINÁMICOS

MODELOS ESTOCÁSTICOS DINÁMICOS MARIANO J. VALDERRAMA BONNET

Siempre evito profetizar de antemano porque es mucho mejor hacerlo después de que han ocurrido los hechos

Winston Churchill

Excmo. Sr. Presidente de la Academia Excmos. e Ilmos. Sres. Académicos Queridos amigos y compañeros

El término academia proviene del héroe griego Hekademos, (o Academo) que fue quien reveló a los Dioscuros, Cástor y Pollux el lugar donde se encontraba prisionera su hermana Helena, que había sido raptada por Teseo. Hekademos tenía su sepultura en las afueras de Atenas y la tumba estaba rodeada de un bosque sagrado en el que Platón instaló su escuela de educación superior el año 387 a.C., siendo pues una mera coincidencia geográfica la identificación de academia como lugar del saber.

A partir del Renacimiento las academias se convirtieron en centros donde se debatían las cuestiones científicas de más alto nivel. Sus miembros eran los más reputados sabios en las correspondientes ramas del saber, mientras que las universidades se limitaban, casi de forma exclusiva, a la enseñanza superior.

A principios de siglo XX, y como continuadora de la Institución Libre de Enseñanza, se crea la Junta para la Ampliación de Estudios e Investigaciones Científicas (J.A.E.), presidida por Santiago Ramón y Cajal, cuyo objeto era organizar la actividad investigadora española, equiparándola a la de países del entorno europeo. Tras la Guerra Civil, sobre la infraestructura de la J.A.E., se constituyó el Consejo Superior de Investigaciones Científicas (C.S.I.C.), cuya misión era articular la investigación española en todos los niveles científicos y socio-humanísticos. No obstante, el máximo grado investigador reconocido en la legislación española, que es el título de doctor, siempre fue expedido por la Universidad.

A partir de mediados de los años sesenta, los departamentos universitarios comienzan a desarrollar una progresiva actividad investigadora que se intensifica a partir de la Ley de Reforma Universitaria de 1983 y de la posterior entrada en vigor de la evaluación investigadora, quedando por otra parte relegada a un segundo término la actividad docente universitaria.

Evidentemente, a lo largo del pasado siglo, el papel que desempeñan las academias ha ido variando y adaptándose al nuevo contexto y, como decía Josef Pieper, lo que confiere carácter académico a una institución es esencialmente esa manera especial de mirar que se dirige a la hondura de las formas y figuras del ser. Así, las Academias continúan siendo un referente del saber, cuyo objetivo básico es el cultivo, fomento y difusión del conocimiento.

La Academia de Ciencias Matemáticas, Fisico- Químicas y Naturales de Granada fue creada en 1976 gracias a las gestiones del Profesor D. Juan de Dios López González, Primer Presidente de la misma y actual Presidente honorario, el cual, por otra parte, contribuyó decisivamente a mi encauzamiento investigador tras finalizar en 1981 mi Licenciatura en Ciencias Matemáticas. Es, por tanto, un motivo de honor entrar ahora a formar parte de esta prestigiosa institución, a la que pertenecen y han pertenecido tantos grandes maestros admirados por mí desde mi época estudiantil.

Para mi discurso de entrada en la Academia el tema que he elegido versa sobre modelos estocásticos dinámicos, materia en la que de una forma u otra he centrado mi investigación desde hace más de veinticinco años y que ha marcado toda mi vida académica.

La Real Academia de la Lengua Española define modelo, en la acepción más adecuada a nuestro uso, como un esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una realidad compleja, que se elabora para facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento. A su vez, el término estocástico procede griego stokhos, que se refiere al lanzamiento de los dardos hacia el centro del blanco, por lo que se considera sinónimo de aleatoriedad.

Podemos deducir de la definición dada que un modelo es una representación simplificada de una realidad usada para predecir o comprobar su comportamiento frente a situaciones nuevas. Para elaborar un modelo es necesario plantear una serie de hipótesis de manera que lo que se quiere representar esté suficientemente plasmado en la idealización, aunque también se busca, normalmente, que sea lo bastante sencillo como para poder ser manipulado y estudiado.

Además de explicar la realidad, la construcción de modelos tiene un objetivo predictivo, es decir, en base al conocimiento actual de un fenómeno se pretende explicar su comportamiento en otra situación. De ahí la gran importancia que tiene el estudio de modelos dentro del ámbito científico pues, como dice un viejo proverbio chino, adivinar es barato, pero adivinar erróneamente resulta caro. El propio economista John Maynard Keynes decía que utilizar las estadísticas para hacer predicciones prescindiendo de los refinamientos teóricos es actuar

como los borrachos, que usan las farolas para apoyarse y no para iluminarse.

En base al nivel de conocimiento sobre el resultado del fenómeno sobre el que se ha construido un modelo, éste puede clasificarse en determinista, donde el resultado se conoce a priori sin incertidumbre, o estocástico, donde no se tiene certeza sobre el mismo sino tan solo se conoce la probabilidad de diversas opciones. Así puede decirse que la principal diferencia entre un matemático puro y un probabilista es que el primero les afirmaría que la persona que ahora les dirige la palabra está viva, mientras el segundo les diría que la probabilidad de que eso ocurra es igual a la unidad o, incluso si se trata de un probabilista puro, les diría que es de 0,999.

Acotando el campo de mi disertación, ésta se centrará en los modelos aleatorios o estocásticos, pero, a su vez, cabe hacer una distinción entre el carácter temporal del fenómeno objeto de estudio. Cuando se trata de representar una situación concreta en un momento dado, el modelo en cuestión será de naturaleza estática, mientras que cuando se pretenda recoger su evolución a lo largo del tiempo, tendremos un modelo dinámico. La teoría de la Probabilidad engloba el estudio de los modelos estáticos, mientras que el análisis de los dinámicos corresponde a la teoría de Procesos Estocásticos.

El tema que voy a desarrollar estará divido en las cinco secciones siguientes:

1. Antecedentes        y        origen        de        los        modelos matemáticos
2. La incorporación de la incertidumbre
3. De un concepto estático a uno dinámico de probabilidad
4. Modelización mediante procesos estocásticos de segundo orden
5. Análisis de datos funcionales

1. Antecedentes y origen de los modelos matemáticos

Desde el momento en que un homínido fue dotado de alma y adquirió raciocinio, comenzó a preguntarse el porqué de las cosas. De manera innata quiso aprender, no limitándose a contemplar pasivamente lo que ocurría a su alrededor, sino formando parte activa del medio en que se desenvolvía e interactuando con el mismo en búsqueda de su propio provecho. Aún, sin él mismo saberlo, comenzó a desarrollar el método científico, basado en la observación de los fenómenos para su posterior explicación y utilización. Así, comprendió que frotando piedras de pedernal saltaban chispas que podían prender yesca encendiendo un fuego, o que fabricando trampas en las rutas observadas de los animales podían capturarlos de forma más sencilla que con la persecución.

Pero además, el hombre primitivo aprendió a calcular distancias con su cuerpo o con sus pasos y se vio en la necesidad de establecer si su grupo era superior o no a otro rival, dando lugar así a los conceptos matemáticos básicos de medida y cuantificación. También la jerarquía entre los individuos integrantes de una tribu originó el establecimiento de un orden.

Posteriormente, el intercambio de productos o trueque que tuvo lugar a lo largo de la Edad de los Metales como herramienta comercial, motivó la necesidad de refinar la noción de recuento, que inicialmente se realizaba con los dedos, de donde procede la palabra dígito, desarrollando un cálculo aritmético primario. De hecho su nombre deriva del uso de guijarros o cálculos para realizar tales operaciones. Pero esto también dio lugar a otro concepto fundamental: el de correspondencia o función.

...