Modelos Estocasticos

UNIDAD IV: MODELOS ESTOCÁSTICOS DE SERIES DE TIEMPO

TEMA 1: FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN SIMPLE Y PARCIAL.

AUTOCORRELACION: CORRELACIÓN EXISTENTE ENTRE UNA VARIABLE Y SUS VALORES DESFASADOS EN EL TIEMPO

PERMITE ESTUDIAR PATRONES DE TENDENCIA, ESTACIONALIDAD E IRREGULARIDAD (DETERMINAR SI LOS DATOS SON ALEATORIOS, ESTACIONARIOS O NO, ESTACIONALES O NO)

HERRAMIENTAS:

1.- COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE ORDEN K:

Rk =

2.- CORRELOGRAMA: HERRAMIENTA GRÁFICA QUE MUESTRA LAS AUTOCORRELACIONES PARA VARIOS RESAGOS EN EL TIEMPO

DECISIÓN:

• LA SERIE ES ALEATORIA SI LA CORRELACIÓN ENTRE Yt y Yt-1 TIENDE A CERO Y LOS VALORES SUCESIVOS DE LA SERIE NO GUARDAN RELACIÓN ENTRE SI

• LA SERIE TIENE TENDENCIA SI Yt y Yt-1 ESTÁN ALTAMENTE CORRELACIONADOS

• LA SERIE ES ESTACIONAL SI LOS COEFICIENTES DE AUTOCORRELACION SON SIGNIFICATIVOS EN LOS VALORES CORRESPONDIENTES A LOS PERIODOS DE DESFASAMIENTO (TRIMESTRE, MES,...)

FUNCION DE AUTOCORRELACION SIMPLE O MUESTRAL (FAS): MEDIDA DE LA RELACION LINEAL ENTRE LAS OBSERVACIONES DE UNA SERIE DE TIEMPO SEPARADAS h PERIODOS.

h(t) = = = covarianza al rezago h / varianza

PROPIEDADES:

• 0 = 1 SI h=0, PUES COV(Yt, Yt+0) = V (Yt) Y [V(Yt) V(Yt+0)] = [V(Yt)2] = V(Yt)

• |h|  1

• h = -h (SIMETRIA)

ESTIMACION:

= =

CORRELOGRAMA SIMPLE: REPRESENTACION GRAFICA DE LOS COEFICIENTES DE AUTOCORRELACION SIMPLE EN FUNCION DEL RETARDO h.

UTILIDAD: PERMITE DETERMINAR SI EL PROCESO ESTOCASTICOS ES O NO ESTACIONARIO Y SU TIPO (AR, MA).

SI LA FAS DE LA SERIE ORIGINAL SE CORTA RAPIDAMENTE, LA SERIE ES ESTACIONARIA. SI, POR EL CONTRARIO, LA FAS DE LA SERIE CAE LENTAMENTE, SE CONSIDERA QUE LA SERIE ES NO ESTACIONARIA.

NOTA: NO SIEMPRE ES POSIBLE DETERMINAR ESTACIONARIEDAD A TRAVES DE LOS CORRELOGRAMAS. EN CASO DE DUDA, APLICAR TESTS DE R.U.

FUNCION DE AUTOCORRELACION PARCIAL (FAP): SEÑALA EL VALOR DE LA CORRELACION ENTRE Yt Y Yt-h, SIN LOS EFECTOS DE LOS RETARDOS INTERMEDIOS Yt-1, Yt-2, …, Yt-h-1.

0 = 1 ES OBVIO QUE EL PRIMER VALOR DE LA FAS Y FAP COINCIDEN

ESTIMACION: EL SEGUNDO VALOR DE LA FAP SE OBTIENE ESTIMANDO UNA REGRESION DE SOBRE Yt-1, Yt-2 Y ASI SUCESIVAMENTE O A TRAVES DE LAS ECUACIONES DE YULE-WALKER

UTILIDAD: PERMITE DETERMINAR EL ORDEN DE LOS PROCESOS AUTORREGRESIVOS

EJEMPLO: SERIE VENTAS DE TOALLAS DE PAPEL ABSORBENTE

¿CÓMO CONOCER SI LAS CORRELACIONES SON O NO SIGNIFICATIVAS?

SIGNIFICANCIA CONJUNTA DE LOS COEFICIENTES DE CORRELACION:

EL ESTADISTICO Q DE BOX-PIERCE DADO POR

Q = n 2m

ES FRECUENTEMENTE UTILIZADO PARA PROBAR SI UNA SERIE ES O NO ESTACIONARIA.

UNA VARIANTE DE DICHA PRUEBA, UTILIZA EL ESTADISTICO DE LJONG-BOX, DADO POR

LB = n(n+2) 2m

ASI, EN NUESTRO EJEMPLO DE LAS TOALLAS DE PAPEL HASTA EL RETARDO 20, Q= 846.07, CON P=0. SE RECHAZA POR TANTO LA HIPOTESIS NULA DE NO SIGNIFICANCIA CONJUNTA DE LOS RETARDOS, POR LO QUE LA SERIE ES NO ESTACIONARIA.

TEMA 2: PROCESOS ESTOCÁSTICOS RELEVANTES: PURAMENTE ALEATORIOS, AUTORREGRESIVOS, PROMEDIOS MÓVILES, MIXTOS E INTEGRADOS.

TODAS ESTAS SERIES TIENDEN A CRECER, NO OBSTANTE SUS FLUCTUACIONES. SE SOSPECHA POR TANTO QUE NO SEAN ESTACIONARIAS.

¿QUE TAN CONFIABLE ES UN PRONOSTICO PARA UNA SERIE NO ESTACIONARIA?

PARA PREDECIR EL VALOR FUTURO DE ESTAS SERIES ES NECESARIO CONOCER EL MECANISMO QUE LAS GENERA, ESTO ES EL PROCESO GENERADOR DE LOS DATOS.

PARA ELLO, ES IMPORTANTE CONOCER ALGUNOS TERMINOS QUE SE DESCRIBEN A CONTINUACION.

PROCESO ESTOCASTICO: ES UNA SERIE DE VARIABLES ALEATORIAS ORDENADAS EN EL TIEMPO. MODELO PROBABILISTICO QUE ESTUDIA LA EVOLUCION TEMPORAL DE UN SISTEMA SEGÚN LAS LEYES DE PROBABILIDAD. FAMILIA DE VARIABLES ALEATORIAS (Y(t,w); tT, w) DEFINIDAS EN UN ESPACIO  Y OBSERVADAS EN PERIODOS O INSTANTES SUCESIVOS DE T.

POR EJEMPLO, CADA VALOR DE LA SERIE TCP {TCP1, TCP2, TCP3…} ES UNA VARIABLE ALEATORIA. ASI POR EJEMPLO, EN EL MES DE MAYO DEL 2012 EL TCP PUDO HABER ASUMIDO CUALQUIER VALOR, DEPENDIENDO DE LA SITUACION ECONOMICA Y POLITICA DEL PAIS. EL VALOR DEL TCP DE 9,708 PARA ESE MES CONSTITUYE UNA REALIZACION DE TALES POSIBILIDADES.

ASI, LA REALIZACION ES AL PROCESO ESTOCASTICO LO QUE LA MUESTRA ES A LA POBLACION.

CARACTERISTICAS DE UN PROCESO ESTOCASTICO:

A) LA VARIABLE Yt ES UNA VARIABLE ALEATORIA, ORDENADA CRONOLOGICAMENTE, QUE POSEE FUNCION DE DENSIDAD f(Yt)

B) Yt DEPENDE UNICAMENTE DE VALORES PASADOS DE LA MISMA Y DE VALORES PASADOS Y PRESENTES DE LOS RESIDUOS

C) SE TIENE UNA SOLA OBSERVACION PARA CADA VARIABLE ALEATORIA (PERIODO).

DESCRIPCION DE UN PROCESO ESTOCASTICO:

1) ESPECIFICACION DE LA FUNCION DE DISTRIBUCION CONJUNTA PARA {Yt ; t Є T}, LO QUE IMPLICA DISPONER DE MUCHAS REALIZACIONES DEL PROCESO EN CADA PERIODO t Є T (EN LA PRACTICA, PERO, SOLO SE TIENE UNA)

2) ESTUDIO DE LOS MOMENTOS DE LA VARIABLE ALEATORIA Yt:

t = E (Yt) t,s = COV(Yt, Ys) = E[(Yt - t)(Ys - s)]

2t = V(Yt) = E(Yt - t)2 t,s = COV(Yt, Ys)/(t s)

CLASIFICACION DE LOS PROCESOS ESTOCASTICOS

ESTACIONARIO

PROCESO ESTOCASTICO HOMOGENEO O INTEGRADO

NO ESTACIONARIO NO HOMOGENEO

A) PROCESO ESTOCASTICO ESTACIONARIO: EL PROCESO PERMANECE EN EQUILIBRIO EN TORNO A UNA MEDIA CONSTANTE.

UN PROCESO ESTOCÁSTICO ES ESTACIONARIO SI NO PRESENTA CAMBIOS SISTEMÁTICOS EN SU MEDIA (NO HAY TENDENCIA), NI EN SU VARIANZA, Y SUS VARIACIONES ESTRICTAMENTE PERIÓDICAS, SI LAS TIENE, HAN SIDO ELIMINADAS.

ES DECIR, A MEDIDA QUE t AUMENTA, EL PROCESO TIENDE A UNA DISTRIBUCIÓN DE EQUILIBRIO, QUE NO DEPENDE DE LAS CONDICIONES INICIALES. POR ESO, LUEGO DE CIERTO PERIODO DE TIEMPO EN QUE EL PROCESO HA ESTADO EN MOVIMIENTO, LA DISTRIBUCIÓN DE Yt CAMBIA MUY POCO.

SI LAS CONDICIONES INICIALES DEL PE SE DEFINEN IDÉNTICAS A LAS CONDICIONES DE EQUILIBRIO, ENTONCES EL PROCESO ES ESTACIONARIO EN TIEMPO, Y LA DISTRIBUCIÓN DE EQUILIBRIO ES LA DISTRIBUCIÓN ESTACIONARIA DEL PROCESO.

1) P.E. ESTRICTAMENTE ESTACIONARIO: DISTRIBUCION CONJUNTA DE {Yt} ES INVARIABLE EN EL TIEMPO. EN OTRAS PALABRAS, LAS VARIABLES ALEATORIAS QUE COMPONEN EL PROCESO ESTAN IDENTICAMENTE DISTRIBUIDAS (MOMENTOS NO DEPENDEN DEL TIEMPO).

2) P.E. DEBILMENTE ESTACIONARIO: LOS MOMENTOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN SON INVARIANTES EN EL TIEMPO Y LA COVARIANZA ENTRE DOS OBSERVACIONES DEPENDE DEL RETARDO h UNICAMENTE.

E (Yt) = E (Yt+h) =  MEDIA CONSTANTE

V(Yt) = V (Yt+h) = 2 VARIANZA CONSTANTE

COV(Yt, Yt+h) = E(Yt -  , Yt+k - ) = h

h(t) = = h / 0

EN OTRAS PALABRAS, UNA SERIE ESTACIONARIO NO TIENE TENDENCIA, TIENDEN HACIA UNA MEDIA CONSTANTE (MEAN REVERSION) Y LAS FLUCTUACIONES EN TORNO A ESTA MEDIA (VARIANZA) TIENEN UNA AMPLITUD CONSTANTE.

LA VELOCIDAD CON QUE LA SERIE REGRESA A SU MEDIA DEPENDE DE LA AUTOCOVARIANZA: RAPIDA PARA AUTOCOVARIANZAS PEQUENAS; LENTA PARA AUTOCOVARIANZAS GRANDES.

P.E. ESTACIONARIO ERGODICO: TIENDE EN PROBABILIDAD HACIA UN ESTADO LIMITE, INDEPENDIENTEMENTE DEL ESTADO INICIAL. ESTA PROPIEDAD PERMITE ESTIMAR LAS CARACTERISTICAS DEL PROCESO A PARTIR DE UNA SOLA REALIZACIÓN MUESTRAL. ESTO ES, LA ERGODICIDAD IMPLICA QUE EXISTE UNA DISTRIBUCION LIMITE.

EN DEFINITIVA, UN P.E. ES ERGÓDICO, SI LAS MEDIAS MUESTRALES

CALCULADAS A PARTIR DE UNA REALIZACIÓN DEL PROCESO, PUEDEN

USARSE COMO UNA APROXIMACIÓN DE LAS MEDIAS POBLACIONALES

DESCONOCIDAS CORRESPONDIENTES

= [ 1/T ] 

UNA CONDICION NECESARIA DE ERGODICIDAD EN UN P.E. ESTACIONARIO ES QUE LOS VALORES DEL PROCESO {Yt} MUY ALEJADOS ENTRE SI (h  ) TIENDEN A ESTAR POCO CORRELACIONADOS: Lim h = 0

h  

DE LO CONTRARIO SE AGREGARÍA POCA INFORMACION CON CADA OBSERVACION.

B) PROCESO ESTOCASTICO NO ESTACIONARIO: DESDE EL PUNTO DE VISTA DEBIL, UN PE ES NO ESTACIONARIO SI SU MEDIA Y/O SU VARIANZA VARIAN EN EL TIEMPO.

C) PROCESO ESTOCASTICO NO ESTACIONARIO INTEGRADO (HOMOGENEO): SI Yt ES UN P.E. NO ESTACIONARIO, PERO Zt = d(Yt) ES ESTACIONARIA, ENTONCES Yt ES HOMOGENEA O INTEGRADA DE ORDEN d. Yt d

ASI, UNA VARIABLE QUE REQUIERA SOLO UNA DIFERENCIA PARA HACERSE ESTACIONARIA, ES INTEGRADA DE ORDEN UNO. UN PROCESO CAMINO ALEATORIO ES (1).

SI Yt ES UNA SERIE ESTACIONARIA, ENTONCES Yt 0

LAS

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