INECUACIONES LINEALES Sistemas de Inecuaciones Lineales con dos incógnitas

INECUACIONES LINEALES
Sistemas de Inecuaciones Lineales con dos incógnitas         

a)                        b)                        

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Resolver los sistemas de inecuaciones siguientes, dibujando la solución

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a)          b)

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Programación Lineal (PL)

La Programación Lineal (PL) es un procedimiento matemático para determinar la asignación óptima de recursos escasos.

Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales.

Un modelo de programación lineal esta compuesto de:

1. Variables y parámetros de decisión. Las variables de decisión son las incógnitas (o decisiones) que deben determinarse resolviendo el modelo. Los parámetros son los valores conocidos que relacionan las variables de decisión con las restricciones y función objetivo.

2. Restricciones. Para tener en cuenta las limitaciones tecnológicas, económicas y otras del sistema, el modelo debe incluir restricciones (implícitas o explícitas) que restrinjan las variables de decisión a un rango de valores factibles.

3. Función objetivo. La función objetivo define la medida de efectividad del sistema como una función matemática de las variables de decisión.

La solución óptima será aquella que produzca el mejor valor de la función objetivo, sujeta a las restricciones.

DEFINICIÓN. Una función f(X1, X2, X3, ...... Xn) es una función lineal de  X1, X2,  ... Xn si y sólo si para algún conjunto de constantes C1, C2, C3, ...... Cn, f(X1, X2,  ...... Xn) = C1 X1, C2 X2, C3 X3, ...... Cn Xn

Ejemplo, f( X1, X2) = 2 X1 + X2 es una función lineal de X1 y X2, pero

 f( X1, X2) =  X12 X2 no es una función lineal de X1 y X2.

DEFINICIÓN. para cualquier función lineal f(X1, X2, ...... Xn) y cualquier número b, las desigualdades f(X1, X2, ...... Xn) ≤ b y f(X1, X2, ...... Xn) ≥ b son desigualdades lineales.

Así, 2 X1 + 3 X2   ≤  3 y  2 X1 + 3 X2   ≥  3 son desigualdades lineales, pero

X12 X2 ≥ no es una desigualdad lineal.

Cuando se formula un problema de toma de decisiones como un programa lineal, se deben verificar las siguientes condiciones:

1. La función objetivo debe ser lineal. Vale decir que se debe verificar que todas las variables estén elevadas a la primera potencia y que sean sumadas o restadas (no divididas ni multiplicadas);
2. El objetivo debe ser ya sea la maximización o minimización de una función lineal. El objetivo debe representar la meta del decisor; y
3. Las restricciones también deben ser lineales. . Asimismo, la restricción debe adoptar alguna de las siguientes formas ( ≤, ≥, ó  =, es decir que las restricciones de PL siempre están cerradas).

¿El siguiente problema es un problema de PL?

Max X2
sujeta a:
X1 + X2 ≤ 0
X12 - 4 ≤ 0

Aunque la segunda restricción parece "como si" fuera una restricción no lineal, esta restricción puede escribirse también de la siguiente forma:
                                   X1 ≥ -2, y X2 ≤ 2.
En consecuencia, el problema es de hecho un problema de PL.

Forma estandar del modelo

La formulación en PL para un problema general de asignación de recursos a actividades, consiste en elegir valores de x1,x2,....,xn para:

Optimizar (maximizar o minimizar) Z = c1x1 + c2x2 +....+ cnxn,

sujeta a las restricciones:

  (s.a.)

a11x1  +  a12x2 +....+ a1nxn < b1

a21x1  + a22x2 +....+ a2nxn < b2

                                      .

am1x1 + am2x2 +....+ amnxn < bm

X1 ≥  0,           X2  ≥0,     ...,      Xn  ≥0.

Definición de Región factible, para un P.L. es el conjunto de todos los puntos que satisfacen las restricciones y las restricciones de signo del P.L.

Definición de solución optima, para un problema de maximización, una solución óptima para un P.L., es un punto de la región factible con el mayor valor de la función objetivo. Similarmente para uno de minimización será el valor mínimo de la F.O.

Definición. Un conjunto de puntos S es un conjunto convexo si el segmento rectilíneo que une cualquier par de puntos de S se encuentra dentro de S.

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Definición. Para cualquier conjunto convexo S, un punto P de S es un extremo si para cada segmento rectilíneo que se encuentra completamente en s y que pasa por el punto P, P es un extremo del segmento rectilíneo.

Por ejemplo en la figura (a) cada punto de la circunferencia es un punto extremo del círculo. En (b) A, B, C, D son puntos extremos

Ejemplo:

Giepetto S.A. fabrica dos tipos de juguetes: soldados y trenes. Se vende un soldado a S/. 27 y se gasta S/. 10 en materia prima. Cada soldado producido aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en S/. 14

Se vende un tren a S/. 21 y se gasta S/. 9 en materia prima. Cada tren producido aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en S/. 10. Cada juguete necesita dos tipos de trabajo especializado: carpintería y acabado. Un soldado requiere dos horas de acabado y una hora de carpintería. Un tren requiere 1 hora de acabado y 1 hora de carpintería. Cada semana, Giapetto puede conseguir toda la materia prima que se necesita, pero solo dispone de 100 horas de acabado y 80 de carpintería. La demanda de los trenes no tiene límites, pero se venden a lo más 40 soldados semanalmente. Giapetto quiere maximizar su ganancia semanal (ingresos costos). Formule un modelo matemático para la situación de Giapetto que se puede utilizar para maximizar su ganancia semanal.

Al crear este modelo se exploran las características comunes a todos los problemas de programación lineal.

Variables de decisión. Las variables de decisión tienen que presentar todas las decisiones que tomar (¿?) Giapetto tiene que decidir cuantos soldados y trenes tiene que fabricar cada semana. Entonces definimos:

X1 = el número de soldados a producir cada semana.

X2 = el número de trenes a producir cada semana.

Función Objetivo. En cualquier problema de P.L., la persona que toma la decisión quiere maximizar (ingresos o ganancias ) y minimizar (costos) . La función que hay que maximizar o minimizar se llama función objetivo .

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