Métodos Para Solucionar Sistemas De Ecuaciones.

Métodos para solucionar sistemas de ecuaciones.

Casos especiales

También puede ocurrir que el sistema en cuestión no tenga solución o que tenga infinitas. Esto lo debes haber visto al estudiar los sistemas desde un punto de vista geométrico. Desde esta perspectiva tenemos dos rectas del plano y tres posibilidades:

• Las rectas se cortan en un punto (sistema compatible determinado),

• Las rectas son coincidentes (sistema compatible indeterminado)

• Las rectas son paralelas (sistema incompatible).

Para poder distinguir unos casos de otros, al resolver el sistema de forma algebraica, debemos seguir los pasos indicados según el método. Al llegar al final podemos encontrarnos una de las cuatro situaciones siguientes:

• a x = b, con 'a' y 'b' dos números reales cualesquiera. En este caso no hay problema al despejar x y el sistema tiene una única solución. Es, por tanto, compatible determinado.

• a x = 0, con 'a', un número real cualquiera. En este caso al despejar x nos quedaría x=0 a=0 . Por tanto el sistema tiene también una única solución.

• 0 x = b, (ó 0 = b), con 'b' un número real cualquiera b≠0. En este caso no es posible despejar 'x' pues la operación de dividir entre cero es imposible (también puede interpretarse que 0 no puede ser igual a no cero). Luego el sistema no tiene solución. Es incompatible.

• 0 x = 0, (ó 0 = 0). En este caso cualquier valor de x satisface la igualdad y , por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones que son los infinitos puntos de las rectas coincidentes. Así el sistema es compatible indeterminado. Este es el caso más complicado de resolver. Se suele resolver haciendo x = t, t∈ℝ y despejando y en función de 'x'.

Método de Sustitución

Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra.

Estos son los pasos que debemos llevar a cabo para utilizar el método de sustitución

Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación. Obtenemos así una ecuación con una sola incógnita.

Se resuelve esta ecuación.

El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la ecuación del paso 1º.

Se comprueba la solución en el sistema inicial para asegurarnos de que el resultado es correcto.

Ejemplo:

x+y=1

x-y=5

1° Despejamos ‘x’ en la primera ecuación: x=1-y

2° Sustituimos en la segunda: (1-y)-y=5

3° Ahora resolvemos la ecuación en ‘y’:

1-y-y=5 1-2y=5 1-5=2y -4=2y (-4)/2 =y -2=y

4° Sustituimos en la primera para hallar ‘x’:

X=1-(-2)=1+2=3

5° Ahora comprobamos:

3+(-2)=3-2=1 Si cumple la primera

3-(-2)=3+2=5 Si cumple la segunda

Método de Igualación

En este método se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones. Estos son los pasos:

Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

Se igualan las expresiones. Resultando así, una ecuación con una sola incógnita.

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