De torsion de ejes y tubos de paredes delgadas
alejandro39855Documentos de Investigación12 de Julio de 2012
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ENSAYOS INDUSTRIALES
Dpto. de Ingeniería Mecánica y Naval
Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires
TORSION
Luis A. de Vedia
Hernán Svoboda
Buenos Aires
2001
6. TEORIA INGENIERIL DE TORSION DE EJES Y TUBOS DE PAREDES DELGADAS.
6.1 Torsión de un eje de sección circular.
Sea un eje de sección circular de radio R y longitud L sometida a un momento torsor T como se muestra en la Fig. 6.1.
B O
Fig. 6. 1
A
Asumiremos que secciones planas antes de la deformación permanecen planas después de la deformación, lo que se verifica experimentalmente para ejes de sección circular pero que no es cierto en general para otras secciones.
Una fibra tal como la OA adoptará luego de la deformación la posición
OB, de modo que
siendo
γ = tgα ≅ α
α = AB L
= Rθ
L
de modo que
γ = Rθ
L
Si se asume además que un diámetro del eje antes de la deformación, lo continua siendo luego de la misma, puede escribirse
rθ γ r = L
donde r es la distancia al centro del eje y γr representa la deformación angular
en esa posición.
La condición de equilibrio exige
T = zR τ rdA = zR τ
dr 2 idA
o o r
Ahora bien, como
resulta
τ r = Gγ r
= G rθ
L
τ r
r
= Gθ
L
= Cte.
de modo que
T = τ r zR
r 2dA =
τ r J
r 0 r
donde J es el momento de inercia geométrico polar de la sección.
Resulta entonces
donde
Tr
τ r = J
(6. 1)
J
Obsérvese que dado que
= πD
32
G = τ r = TR / J
= TL
γ r Rθ / L Jθ
resulta
θ = TL GJ
= T GJ / L
(6. 2)
donde GJ/L es la Rigidez Torsional del eje.
Resulta ilustrativo extender los resultados anteriores al caso de un eje de sección circular levemente variable como se muestra en la Fig. 6.2.
Fig. 6. 2
Podemos escribir
r = a +
bb − agx
L
Por ser la sección levemente variable, podemos aplicar la 6.2 al elemento de longitud dx y radio r para el que obtenemos
π= D 4
J = =
π=r 4 π
=
L b b − ag x O4
32 2 2 L
de modo que
dθ =
Tdx
π L bb − agx O4
G 2 NMa + L
Integrando obtenemos
L
θ = 2T
zL dx =
2T GF−
1JIGF
L JI M 1 P =
π 0 L
b − g O4
π H 3 KH
− K M 3 P
G b a x G
a +
L
NF (b −a) x KI Q
2TL F
1 1 I
= G− 3 3 J
3Gπ bb − ag H
b a K
(6. 3)
6.2 Tubos de paredes delgadas.
Consideremos el caso de un tubo largo de paredes delgadas de sección con forma arbitraria, como se muestra en la Fig. 6.3.
Fig. 6. 3
A diferencia de la sección circular considerada anteriormente, la sección ahora considerada puede alabearse. Asumimos no obstante que no habiendo restricción para este alabeo, no hay generación de tensiones de tracción o compresión en la dirección longitudinal.
Aislando un elemento de volumen, dado que el espesor es pequeño, puede considerarse razonablemente que las tensiones tangenciales son constantes en el espesor y que adoptan la dirección tangente a la línea media del contorno, como se muestra en la figura.
El equilibrio en la dirección tangencial exige
F1 = F2
mientras que el equilibrio en la dirección longitudinal requiere
F3 = F4
Ahora bien, como
F3 = τ 3t1dx ,
F4 = τ 4t2dx
surge inmediatamente que
τ 3t1
= τ 4t2
Por otra parte, por condiciones de equilibrio se cumple
τ 3 = τ '3 ,
τ 4 = τ '4
de manera que
τ '3 t1
= τ '4 t2
De modo que el producto q = τt es constante a lo largo del contorno del
tubo y se denomina flujo de tensiones tangenciales. Representa la fuerza de
corte por unidad de longitud de periferia medida sobre la línea media del espesor.
Fig. 6. 4
Ahora bien, teniendo en cuenta la Fig. 6.4 puede escribirse
T = zqrdS = q zrdS
2π
= q 0
2dA = 2Aq
donde A es el área encerrada por la línea media del contorno del tubo.
De modo que
y
q = T
2A
(6. 4)
τ = T
2tA
(6. 5)
Para estimar el ángulo de torsión θ no es posible ahora asumir que las
distorsiones varían linealmente con la distancia al eje longitudinal. Por lo tanto,
considerando el elemento de volumen visto en la dirección n, como se indica en la Fig. 6.4, tenemos que la fuerza tangencial que produce la distorsión del elemento, es
Fig. 6. 5
y el trabajo resulta
τ tdx
τ tdxγ ds
2
Como G = τ/γ, puede escribirse el trabajo sobre toda la periferia por
unidad de longitud, como
z τ tγ ds
...