MATEMATICA

CONJUNTOS NUMÉRICOS

La Ciencia comprende como procedimientos básicos cuantitativos las operaciones de contar y medir.

Contar es caracterizar una colección o conjunto de objetos mediante un número.

Medir es asignar un número a alguna propiedad de un objeto

Los conjuntos numéricos permiten describir en forma precisa conjuntos de números que comparten una propiedad común. Los conjuntos numéricos se han construido a partir de las necesidades tanto humanas como matemáticas. Suma de números naturales

Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales. Sus características estructurales más importantes son:

• 1. Dotados de operadores, admiten estructura

algebraica estable

• 2. Están dotados de propiedades topológicas (o pueden

llegar a estarlo)

• 3. Admiten relación de orden

• 4. Admiten relación de equivalencia

• 5. Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en

un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta).

• 6. Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.

• 7. El orden de construcción de los conjuntos numéricos (de menor a

mayor complejidad) es el siguiente:

• Números naturales

• El 1

• Números primos

• Números compuestos

• Números enteros

• El cero

• Números enteros negativos

• Números racionales

• Números irracionales

• Números reales

• Número imaginario

• Extensiones de los números reales

• Números complejos

• Números complejos algebraicos

• 8. Todos los conjuntos numéricos son a su vez, subconjuntos del

Conjunto C de los números complejos.

• 9. El conjunto de los conjuntos numéricos es representable a través del diagrama del Dominó o de Llaves.

Los números enteros constituyen a los naturales. Los racionales son fracciones y enteros

Clasificación de números

Complejos

Reales Racionales

Enteros Naturales

1: uno

Naturales primos

Naturales compuestos

0: Cero

Enteros negativos

Fraccionarios

Fracción propia

Fracción impropia

Irracionales

Irracionales algebraicos

Trascendentes

Imaginarios

La suma es la operación matemática que resulta al reunir en una sola varias cantidades. También se conoce la suma como adición.

a + b = c.

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

Para su notación se emplea entre los sumandos el signo + que se lee "más".

Propiedades de la suma de números naturales:

1. Interna:

El resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.

a + b

2. Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

5 + 5 = 2 + 8

10 = 10

3. Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

2 + 5 = 5 + 2

7 = 7

4. Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

3 + 0 = 3

Multiplicación de números naturales

Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.

Por ejemplo, la multiplicación 2•5 consiste en sumar el número 2 cinco veces.

a • b = c

Los términos que intervienen en una multiplicación se denominan:

a y b se denomina factores

El resultado (c) se denomina producto

Propiedades de la multiplicación de números naturales

1 Operación interna

El resultado de multiplicar dos números naturaleses otro número natural.

2 Asociativa

El modo de agrupar los factores no varía el resultado.

(a • b) • c = a • (b • c)

Ejemplo:

(2•3)•5=2•(3•5)

6•5=2•15

30 = 30

3 Conmutativa

El orden de los factores no varía el producto.

a • b = b • a

Ejemplo:

2•5=5•2

10 = 10

4 Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación de números naturales porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a • 1 = 1 • a = a

Ejemplo:

3 • 1 = 1 • 3 = 3

5 Distributiva

La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos.

a • (b + c) = a • b + a • c

Ejemplo:

2•(3+5)=2•3+2•5

2•8=6+10

16 = 16

6 Sacar factor común

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a • b + a • c = a • (b + c)

Ejemplo:

2•3+2•5=2•(3+5)

6+10=2•8

16 = 16

División de números naturales

D : d = c

Los términos que intervienen en una división se denominan:

D se denomina dividendo

d se denomina divisor

El resultado (c) se denomina cociente

Tipos de divisiones

1 División exacta

Una división es exacta cuando el resto es cero.

D = d • c

Ejemplo:

2 División entera

Una división es entera cuando el resto es distinto de cero.

D = d • c + r

Ejemplo:

Propiedades de la división de números naturales

1 No es una operación interna

El resultado de dividir dos números naturales no siempre es otro número natural.

Ejemplo:

2 : 6

2 No es conmutativa

El modo de agrupar los factores no varía el resultado.

Ejemplo:

6 : 2 ≠ 2 : 6

3 Cero dividido entre cualquier número da cero

Ejemplo:

0 : 5 = 0

4 No se puede dividir por 0

Conjunto de los números enteros

El conjunto de los números enteros esta formado por los: enteros positivos, negativos y el cero.

a) Enteros positivos (los naturales): son los números que tienen delante el signo + y los representamos por Z+. Z+= {+1, +2, +3, +4 . . .} Un entero positivo se puede representar con el signo (+) o sin ningún signo. Por ejemplo: {+1, +2, +3, +4 . . .} = {1, 2, 3, 4 . . .} Podemos decir que Z+ " Z

b) Enteros negativos: Son los números que tienen delante el signo ( - ) y los representamos por Z-

Z- = {-1, -2, -3, -4 . . .}

Lectura y escritura de un número entero negativo:

- 1 1 negativo o menos uno

- 10 10 negativo o menos 10

c. El cero: Número entero que no es positivo ni negativo.

Por lo tanto, el conjunto de los números enteros es la unión de tres conjuntos a saber:

Z = Z+ U {0} U Z-

Z = { . . . -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}

Representación de los números enteros como puntos en una recta.

Para representar gráficamente los números enteros los asociamos a puntos en una línea recta extendida indefinidamente, en cada una de las dos direcciones ubicando el cero en la parte central de la línea y localizaremos puntos a la izquierda y derecha del cero. Así:

Números opuestos

Dos números enteros que se encuentran a la misma distancia del cero, pero en sentido contrario uno del otro, se denominan números enteros opuestos

Ejemplo:

a) 1 y - 1 b) 2 y - 2 c) 3 y – 3

Valor absoluto

Definición: Es la distancia a la que se encuentra el número del cero.

La distancia entre el origen y el punto 3 es igual a la distancia entre el origen y el punto

-3.

Esta distancia se representa por medio del número 3 en ambos casos.

El valor absoluto se expresa encerrando el número entre dos barras.

Así, escribimos

ø3 ø = 3 y ø-3 ø = 3 o sea que ø3 ø = ø-3 ø = 3

y concluimos que:

El valor absoluto de cualquier número entero es positivo

El valor absoluto de cero es cero.

Orden entre los números enteros

Utilizaremos los símbolos “< ” y “ > ” para representar “es menor que” y “es mayor que”, respectivamente. El signo “= ” para sustituir las palabras “es igual a”.

De acuerdo al orden de los números enteros sobre la recta numérica, podemos escribir:

a< b a es menor que b, a = b a es igual a b, a > b a es mayor que b.

Observaciones generales:

Todo número positivo es mayor que cero.

Todo número negativo es menor que cero. Así, -5 < 0 y - 4 <

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