METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN: consiste en encontrar el mejor trayectoria dinámica siendo optimo o extremara de la variable del estado ya sea
Enviado por jhuliantony • 13 de Junio de 2016 • Síntesis • 1.400 Palabras (6 Páginas) • 194 Visitas
METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN: consiste en encontrar el mejor trayectoria dinámica siendo optimo o extremara de la variable del estado ya sea .
El problema consiste en optimizar: [pic 1]
Sujeto a. [pic 2]
Para encontrar senda optimo cumplir los siguientes requisitos.
Se identifica la función intermedia [pic 3]
Aplicar las condiciones de primer orden, la ecuación de Euler, luego se debe resolver la ecuación de Euler para encontrar la función.
Dinámica general.- [pic 4]
Aplicar la condición inicial [pic 5]
Aplicar la condición final. [pic 6]
Se aplica de la transversalidad [pic 7]
Además se debe tomar en cuenta las siguientes aplicaciones.
Si, en es conocido entonces “T” es fijo, si no lo es “T” será libre.[pic 8]
Si, es conocido entonces es fijo, si no es conocido entonces es libre.[pic 9][pic 10][pic 11]
Para el caso A.
[pic 12]
Para el caso B.
[pic 13]
Condición de primer orden “ecuación de Euler”.- que es la…………………. En principio es una ecuación diferencial lineal de segundo orden o también llamado condición de optimización u optimalizad y nos permite a seleccionar un conjunto de trayectoria admisible de un conjunto trayectoria admisible, de un conjunto de estado que resolviera el problema.
Dada la función de intermedia.- la ecuación de Euler es donde[pic 14][pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
Entonces desarrollando de Euler tenemos.
[pic 18]
[pic 19]
Entonces simplificamos.
[pic 20]
Despejamos.
[pic 21]
[pic 22]
Dividendo todo la ecuación entre [pic 23]
[pic 24]
Además
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
La condición se aprecia en la ecuación es efectivamente la ecuación de Euler de segundo orden, dado que al variable de estado presenta hasta segundo derivada con respecto al tiempo.
LA ECUACIÓN DE EULER EN CASOS ESPECIALES
Minimizar. [pic 28]
s.a
[pic 29]
[pic 30]
Solución.
Sea la función intermedia ……………………………………………(1)[pic 31]
[pic 32]
En forma general ……………………………………………….………(3)[pic 33]
Resolviendo se tiene la ecuación de Euler es.
……………………………………………………..(4)[pic 34]
Alternativamente tenemos.
[pic 35]
La ecuación (2) deducimos.
[pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
[pic 39]
[pic 40]
Remplazando (6) , (7), (8) en (5)
[pic 41]
Entonces ………………………………………………………………………………………………(9)[pic 42]
Es una ecuación de Euler especial ,………………. Que se debe utilizar solo depende de Y …………………… entonces obligatoriamente debe ser, lo que dan lugar 2 casos [pic 43]
CASO I.- si [pic 44]
Cuya relación es [pic 45]
[pic 46]
Entonces de esto. [pic 47]
Resolviendo.
[pic 48]
[pic 49]
[pic 50]
Entonces si : entonces se deduce , la función intermedia es no linial respecto a Y, porque de lo contrario su segunda derivada , con respecto no sería = 0, además la función de intermedia solo de es no lineal, su solución de estado será la función lineal con respecto a [pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]
Es decir se refiere a [pic 55]
No lineal.
[pic 56]
[pic 57]
[pic 58]
CASO II.- [pic 59]
Si tenemos variable de estado diferente a 0.[pic 60][pic 61]
si la segunda diferencia de control de estado entonces se deduce …….. Entonces no es lineal con respecto al tiempo además si =0 entonces la función intermedia es lineal con respecto a variación de ; porque si fuera lineal su siguiente derivada con respecto será igual a cero y no se complica en segunda función de condición, entonces si la función intermedia depende es lineal con respecto entonces la solución será función no lineal a la , entonces la solución general [pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69]
Conclusión a estos dos casos.
- si la función intermedia es lineal a la entonces la solución será de tipo no lineal.[pic 70]
- Si la función intermedia no es lineal con respecto a la la solución es de tipo lineal, entonces retomamos en siguiente ejemplo.[pic 71]
Minimizar [pic 72]
Sujeto a.
[pic 73]
[pic 74]
Caso [pic 75]
Entonces aplicamos las condiciones iniciales.
[pic 76]
[pic 77]
Condición final (CF)
[pic 78]
[pic 79]
[pic 80]
[pic 81]
[pic 82]
[pic 83]
Entonces la estremal será.
[pic 84]
La distancia mínima es.
[pic 85]
falta……[pic 86]
Remplazamos los valores.
[pic 87]
[pic 88]
[pic 89]
...