DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Repaso Cálculo Diferencial

        [pic 1]

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Repaso Cálculo Diferencial

1. Hallar el valor de a para que la función [pic 2]sea continua en todo su dominio.
2. Estudiar continuidad y discontinuidad de [pic 3].
3. Hallar un intervalo donde la ecuación [pic 4] tenga solución. Demostrar que en dicho intervalo la ecuación tiene solución.
4. Estudiar continuidad y discontinuidad de [pic 5]
5. Determinar a y b para que  [pic 6], sea continua en todo R.
6. Enunciar el teorema de Bolzano. Comprobar si la ecuación x = x.senx + cosx tiene solución en [pic 7].
7. Estudiar continuidad y discontinuidad de la función f(x)= 2x+[pic 8].
8. Estudiar continuidad y discontinuidad de función [pic 9]. Qué tipo de discontinuidad presenta en x=0 y en x=-1
9. Se puede afirmar que la función f(x) = x3-3x2+5 toma el valor [pic 10] en el intervalo [1,2]
10. Dada la función f(x)=[pic 11]. Estudiar si existe algún valor de a para que la función sea continua. ¿Es derivable en x=a?
11. Demostrar si la función f(x)=x3+x2-5x-2 tiene al menos una raíz en (1,2).
12. Demostrar si f(x)= x+senx-1 tiene raiz en R
13. Determinar el valor de a y b para que  f(x)=[pic 12] sea continua en todo R.
14. Dada la función f(x)=[pic 13] , hallar el valor de m y n para que la función sea continua y derivable en x=0
15. Estudiar si [pic 14] es continua y derivable en x=2
16. Estudiar la derivabilidad de f(x)=|x-2| en x=2
17. Estudiar la derivabilidad vde f8x)=x+|x-3| en x=3
18. Hallar EL valor de los parámetros a y b de modo que la función f(x) sea continua [pic 15]
19. Estudiar la continuidad de la función [pic 16]
20. Probar que las ecuaciones cosx=2x-1, [pic 17], tienen al menos una raíz real.
21. Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones

a) [pic 18]        b) [pic 19]        c) [pic 20]

1. Dada la función [pic 21], estudiar su continuidad y derivabilidad. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto x=0.
2. Calcula el valor de las constantes c y d sabiendo que la gráfica de la función [pic 22]tiene como recta tangente en el punto P=(1,-2) a la recta   y=5x-7
3. Hallar el valor de a y b para que la función [pic 23] para que la función sea derivable.
4. Hallar una función polinómica de grado 3 sabiendo que la derivada primera y segunda se anulan en x=1, y que en el punto (0,1) de su gráfica la recta tangente tiene pendiente 3.
5. Una empresa tuene que construir un depósito para que pueda contener 10000 m3 de combustible. La forma del depósito debe ser la de un cilindro en la que se han sustituido las bases por dos semiesferas. Se quiere pintar el exterior del depósito. Hallar las dimensiones del depósito para que el gasto de pintura sea mínimo.
6. Dada la función [pic 24], hallar un punto de dicha curva cuya distania al punto P=(7,0) sea la más corta.
7. Hallar un punto de la curva [pic 25]en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima.
8. Hallar un punto de la parábola [pic 26]que esté a mínima distancia de la recta x+y+4=0.
9. ¿Es posible aplicar el teorema de Rolle a la función [pic 27]en el intervalo [-1,1]?. ¿Y a la función [pic 28] en el mismo intervalo?.
10. Comprobar si la función [pic 29]verifica el teorema e Rolle en [1,5].
11. Determinar las constantes a, b y c para que la función [pic 30] verifique las hipótesis  del teorema de Rolle en el intervalo [0,c], con c>1. Hallar también el punto o puntos que garantiza dicho teorema.
12. Comprobar que la ecuación  x3+6x2+15x-23=0 no puede tener más de una raíz real.
13. Probar que la ecuación [pic 31] tiene una única raíz en [0,1].
14. Hallar el valor aproximado de:

                [pic 32]                [pic 33]                [pic 34]

1. Hallar los siguientes límites:

a) [pic 35]                c)[pic 36][pic 37]d) [pic 38]        

e) [pic 39]        f) [pic 40]        g) [pic 41]

h) [pic 42]                i) [pic 43]                j) [pic 44]

1. Representar las siguientes funciones a) [pic 45]        b) [pic 46]
2. Definición de continuidad y derivabilidad de una función f(x) en un punto x=a
3. Estudiar continuidad y discontinuidad de la función [pic 47]
4. Estudiar continuidad y derivabilidad de [pic 48] en x=-1
5. Hallar la recta tangente a la función [pic 49] que sea paralela al eje OX
6. Dada la función f(x) = ax3+bx, determinar a y b para que la recta pase por el (1,1) y la recta tangente en dicho punto tenga de pendiente mtg= -3.
7. Dada la función [pic 50], hallar h’(0) sabiendo que f(0)=0, f’(0)=1.
8. Dada la función [pic 51], hallar f’(1) y f’(-1)
9. Dada la función [pic 52], hallar a y b para que dicha función sea continua y derivable en x=0.
10. Demostrar que la ecuación    x.lnx = 0   tiene raíz en [0’5,2]
11. Representar gráficamente la función [pic 53]
12. Dada la función [pic 54], hallar a y b sabiendo que la recta pasa por el punto P=(0,-1) y en dicho punto presenta recta tangente 3x-y-1=0.
13. Dada la función f(x)= -3x2+5x-1, hallar los puntos de ella donde la recta tangente sea paralela a la recta 7x+y-2=0.
14. Hallar la recta tangente a la función [pic 55] en el punto P=(1,e).
15. Aprovechando una pared, se quiere construir un recinto rectangular donde uno de sus lados será la pared. Si tenemos 500 m de tela metálica, hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área.
16. Dada la función f(x)= [pic 56], hallar:

1. La recta tangente a dicha función en el punto de abscisa x=2
2. Un punto de dicha función donde la recta tangente a ella sea paralela al eje OX

1. Obtener la representación gráfica de f(x) = x3 + 3x2
2. Hallar el área del recinto comprendido entre la función anterior, el eje OX y las rectas x=-1, x=1.
3. Resolver las siguientes integrales:a)[pic 57] b)[pic 58] c)[pic 59]        d) [pic 60]        e)[pic 61]        f)[pic 62]        
4. Dada la función f(x) = x3+ax2+bx+c, hallar a, b y c de forma que la función pase por el punto (0,-1), en x= -1 presenta un máximo y en x=2 presenta un punto de inflexión.
5. Calcular el área limitada por las funciones [pic 63], [pic 64]
6. Resuelve los siguientes apartados:

1. Hallar una función primitiva de f(x) = [pic 65] que se anule en x=3.
2. Hallar una función f(x) sabiendo que f ´(x)=3x y que pasa por el punto (0,1)

1. Representar gráficamente la función [pic 66]
2. Hallar la ecuación de la recta tangente a la función [pic 67] en el punto de abscisa x=0.
3. Dada la curva y=x3+ax+b, hallar a, y b sabiendo la recta tangente a ella en el punto (0,0) tiene de pendiente m=1
4. Obtener la función derivada de [pic 68], utilizando la definición de función derivada.
5. Hallar una función primitiva de [pic 69]tal que se anule en x=1.
6. Representar gráficamente la función [pic 70]
7. Hallar el área del recinto encerrado por las funciones y=4-x2 , y=x2
8. Hallar a, b y c para que la curva Y=x3+ax2+bx+c tenga un mínimo en (1,1) y la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x=0 es el eje OX.
9. Dada la función y=x2+x, hallar un punto de dicha función tal que la tangente a ella en ese punto sea perpendicular a la recta x+y+1=0. Hallar dicha recta tangente.
10. Obtener las siguientes integrales:[pic 71]        [pic 72] [pic 73]        [pic 74]
11. Estudiar la continuidad y discontinuidad de la función [pic 75]. En los puntos de discontinuidad que sea posible definirla de nuevo para que sea continua, hacerlo.
12. Demostrar que la ecuación  cosx = x tiene una sóla solución en el intervalo [pic 76].
13. Hallar, utilizando el Teorema del valor Medio, un valor aproximado de [pic 77]
14. Hallar a y b par que la función [pic 78] sea derivable en todo R
15. Comprobar si [pic 79] verifica el teorema de Rolle en [pic 80]
16. Determinar el valor de a par que la función [pic 81] tenga un extremo en x=2.
17. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones: [pic 82],[pic 83]
18. Demostrar que la ecuación [pic 84] tiene una sola raíz.
19. Hallar los puntos de la curva x=y2+y en los que la recta tangente sea perpendicular a x+y=2.
20. Dada la función f(x) = [pic 85], hallar la ecuación de la recta tangente a ella en el punto de abscisa x=0.
21. Dada la curva f(x)= ex.(x-2), hallar el punto de la curva donde la tangente a ella sea paralela al eje OX.
22. Demostrar que la ecuación 2x3 = 6x-1 tiene  raíz real.
23. Dada la función [pic 86], hallar:

1. Los valores de a para que f(x) sea continua en x=0
2. Los valores de a para que f(x) sea derivable.

1. Estudiar la derivabilidad de f(x) = [pic 87] en [0,2].
2. Enunciar el teorema de Bolzano. Comprobar si la ecuación x = x.senx + cosx tiene solución en [pic 88].
3. Estudiar continuidad y discontinuidad de la función f(x)= 2x+[pic 89].
4. Estudiar continuidad y discontinuidad de función [pic 90]. Qué tipo de discontinuidad presenta en x=0 y en x=-1
5. Estudiar continuidad y derivabilidad de la función [pic 91]. Hallar la recta tangente a ella en x=0.
6. Estudiar continuidad, discontinuidad y derivabilidad de la función [pic 92].
7. Demostrar que la ecuación senx = x-1 tiene raíces en [pic 93].
8. Estudiar continuidad , discontinuidad  y derivabilidad de la función f(x)=(x-1).|x-1|
9. Estudia la continuidad de la siguiente función según los valores del parámetro a: [pic 94]
10. Hallar la recta tangente a la función [pic 95]que sea paralela a la recta 2x+y=0.

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