Matematica

PLATON

Platón nace en el año 427 a.C. en el seno de una familia vinculada con la vieja nobleza de Atenas. A los veinte años se hizo discípulo de Sócrates, filósofo de la Mayéutica, con quien convivió ocho años hasta su condena en 399. A la muerte de Sócrates, Platón se refugia en Megara en casa del filósofo Euclides –que interviene al comienzo del Dialogo sobre la Ciencia, el Teeteto–, y al que secularmente se le ha confundido con el autor de los Elementos, y empieza a escribir. Durante los diez años siguientes, con un inefable arte literario, Platón redacta los primeros Diálogos en los que trasmite la enseñanza socrática. Al advertir las limitaciones de la Filosofía de su maestro, empieza a buscar elementos más sólidos sobre los que basar una Filosofía más positiva y los encuentra en la Matemática en general y en el Pitagorismo en particular.

Con estas intenciones, Platón viaja a Cirene, y escucha las lecciones del gran geómetra Teodoro, a quien considera uno de sus maestros –que intervendrá también en el Teeteto–; y más tarde se traslada a Tarento, en Italia, donde se impregna de las doctrinas pitagóricas a través de la exposición programática del pitagorismo que había escrito Filolao y del magisterio de Arquitas, científico eminente, brillante político y legislador, que al establecer el antecedente del Cuadrivium medieval –Aritmética, Geometría, Música y Astronomía–, enfatizó la relevancia que tiene la Matemática en la Educación. Como geómetra, Arquitas fue pionero en la valoración del estudio de la Geometría tridimensional, querencia heredada por Platón (República, 528b). Aunque quizá su mayor contribución a la Matemática fue su influencia sobre Platón y el haberle salvado la vida, intercediendo por él ante el tirano Dionisio. En sus estancias en Italia, Platón se empapa de las tesis pitagóricas –inmortalidad y transmigración de las almas; la estructuración, descripción e interpretación del universo en términos de entidades matemáticas; los estrechos vínculos recíprocos entre Matemática y Filosofía; el entusiasmo místico de la pasión por el conocimiento matemático como forma de vida filosófica articulada en una comunidad, etc.–

El intento de fundamentar el saber matemático debió de ser una de las motivaciones platónicas para desarrollar la Teoría de las Ideas, pero a su vez el origen matemático de la misma es un aspecto esencial de la importancia de la Matemática en la naturaleza y desarrollo de la Filosofía platónica. La Teoría platónica de las Ideas o las Formas proviene de una convergencia y síntesis muy coherente de la cosmovisión pan matemática pitagórica, de la radical distinción entre lo sensible y lo inteligible de Parménides, y de la preocupación socrática por la definición y el concepto, verdadero antecedente de la idea y la forma platónica. Es justamente en el terreno matemático en el que mejor se ilustra la Teoría de las ideas de Platón. Un círculo, por ejemplo, se define en Geometría como una figura plana compuesta por puntos que equidistan de uno dado. Pero nadie ha visto en realidad esa figura ni se podrá ver jamás. La forma circular de los geómetras no se encuentra entre los objetos sensibles. Lo que vemos con frecuencia son figuras –un plato, una rueda, la luna llena–, objetos materiales que también llamamos círculos y que resultan ser, en la forma, aproximaciones al círculo ideal. Por tanto, la forma de círculo existe, no en el mundo físico, sino en el ámbito de las ideas, como un objeto inteligible, inmutable e intemporal, que sólo puede ser aprehendido mediante la razón.

La Teoría de las Ideas tiene su origen en las formas geométricas pero no se limita a ellas. Es más, la pretensión de Platón es alcanzar en su idealismo a todo el campo de la Moral. Si en nuestro mundo no hay nada que sea absolutamente circular, tampoco hallamos nada absolutamente bueno o justo. Y si la objetividad de la Geometría obliga a postular la existencia de la forma perfecta de círculo inteligible, separada del objeto circular sensible que se aproxima o se parece a la forma ideal, así también la necesidad de salvaguardar la objetividad de la Moral obliga a postular la existencia de las formas ideales y perfectas del Bien y de la Justicia, separadas de la personas e instituciones terrenales que deben aproximarse a ellas. Las ideas o formas tienen mayor entidad que los objetos del mundo físico tanto por su perfección, eternidad e inmutabilidad, como por el hecho de ser modelos canónicos que conceden a los objetos sensibles lo que tienen de realidad. Cada cosa es lo que es en virtud de su parecido con su idea universal. Las ideas o formas platónicas son paradigmas de las que las cosas sensibles son imitaciones. Las formas geométricas circular, cuadrada y triangular, etc., son excelentes ejemplos de lo que Platón entiende por idea. Un objeto que podemos contemplar en el mundo físico puede ser llamado círculo, cuadrado o triángulo porque imita, se parece (“participa de” en palabras de Platón) a la idea de círculo, cuadrado o triángulo. La cosa participa de la idea y, por esa participación, es semejante a ella; la idea es, pues, una realidad superior presente en la cosa y al mismo tiempo original o arquetipo. De estas cuestiones escribe Platón en diversos pasajes del Filebo (25a), la República (476a–476d), el Fedón (100a, 101c), etc. La Teoría de las Ideas está muy dispersada a lo largo del texto de estos Diálogos y de otros como el Menón, el Fedro y el Banquete, e incluso para su conocimiento completo debemos acudir a Aristóteles, sobre todo los capítulos 6 (987b) y 9 (990a) del Libro I de la Metafísica de Aristóteles.

Por herencia pitagórica, para Platón los conceptos de la Matemática son independientes de la experiencia, se los descubre, no se los inventa o crea. Los juicios geométricos son eternos y apriorísticos, y corresponden a una realidad intemporal e inmutable, que es la auténtica realidad, más real que la engañosa, imperfecta e incompleta realidad sensible. De acuerdo con su idealismo geométrico, Platón subraya que los razonamientos que hacemos en Geometría no se refieren a las figuras concretas que dibujamos sino a las ideas absolutas que ellas representan (República, 510d–510e):

«[Los matemáticos] se sirven de figuras visibles que dan pie para sus razonamientos, pero en realidad no piensan en ellas, sino en aquellas cosas a las que se parecen. Y así, por ejemplo, cuando tratan del cuadrado en sí y de su diagonal, no tienen en el pensamiento el que dibujan y otras cosas por el estilo. Las mismas cosas que modelan y dibujan, cuyas imágenes nos las ofrecen las sombras y los reflejos del agua son empleadas por ellos con ese carácter de imágenes, pues bien saben que la realidad de esas cosas no podrá ser percibida sino con el pensamiento.»

EUCLIDES

En Alejandría, Euclides desarrolló obras de índole física, matemática y de ingeniería, pero prestaba especial atención al desarrollo y estudio de la geometría, a la que consideraba como materia perfecta que era digna de estudiarse por ella misma. Cuenta la tradición una anécdota sobre un alumno que le preguntó a Euclides sobre los beneficios que podría obtener gracias al estudio de la geometría. Euclides mandó que le dieran al alumno una moneda para que dispusiera de beneficios inmediatos.

Pero como es más conocido es por su obra "Los Elementos", un tratado en trece volúmenes, que al contrario de lo que piensa mucha gente no sólo habla de geometría, también existen referencias claras (y quizás de las primeras) a la teoría de números y aritmética. De hecho, se consideran Los elementos como una recopilación de las matemáticas de su época ya que se basa en parte en resultados obtenidos por matemáticos anteriores, por ejemplo, Pitágoras.

Euclides fue un sabio y matemático griego que se vincula siempre al ambiente científico y académico de la antigua biblioteca y universidad de Alejandría.

Se podría decir que fue el más importante matemático de la antigüedad pero los detalles biográficos de Euclides tan sólo se conocen gracias a Proclo, historiador de la matemática griega. Según Proclo Euclides nació sobre el 300 a.C. en algún lugar de Grecia, fue instruido en Atenas y más tarde fue enviado a Alejandría donde se hizo jefe del departamento de Matemáticas de su universidad.

En Alejandría, Euclides desarrolló obras de índole física, matemática y de ingeniería, pero prestaba especial atención al desarrollo y estudio de la geometría, a la que consideraba como materia perfecta que era digna de estudiarse por ella misma. Cuenta la tradición una anécdota sobre un alumno que le preguntó a Euclides sobre los beneficios que podría obtener gracias al estudio de la geometría. Euclides mandó que le dieran al alumno una moneda para que dispusiera de beneficios inmediatos.

Pero como es más conocido es por su obra "Los Elementos", un tratado en trece volúmenes, que al contrario de lo que piensa mucha gente no sólo habla de geometría, también existen referencias claras (y quizás de las primeras) a la teoría de números y aritmética. De hecho, se consideran Los elementos como una recopilación de las matemáticas de su época ya que se basa en parte en resultados obtenidos por matemáticos anteriores, por ejemplo, Pitágoras.

Los libros I, II, III, y IV tratan sobre los conceptos básicos de la geometría plana. Los libros V y VI hablan de la teoría de la proporción. Los libros VII, VIII y IX tratan de aritmética. El libro X habla de los irracionales ya ampliamente aceptados después de los pitagóricos. Los libros XI, XII y XIII tratan sobre la geometría

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