Álgebra de Boole

Estructuras algebraicas que son Álgebra de Boole

Hay numerosos casos de distintas análisis de estructuras algebraicas que corresponden al álgebra de Boole, aunque en apariencia son muy diferentes, su estructura es la misma, vamos a ver algunos de ellos, con el propósito de hacer palpable las similitudes en la estructura y los distintos ámbitos de aplicación y distinta terminología para referirse a las operaciones o a las variables, veámoslos.

Lógica binaria

Artículo principal: Lógica binaria.

Artículo principal: Sistema digital.

Artículo principal: Sistema binario.

Artículo principal: Tabla de verdad.

Artículo principal: Sistema combinacional.

Artículo principal: Circuito de conmutación.

Una serie de temas, aparentemente tan distintos, tiene dos cosas en común, la lógica binaria basada en los ceros y los unos y el álgebra de Boole, posiblemente la forma más conocida de este álgebra, que en ocasiones da lugar a la interpretación que el álgebra de Boole es la lógica binaria exclusivamente, así el conjunto \mathfrak{B} en este caso esta formado por dos elementos {0,1}, o {F,V}, o {no, si}, dos valores contrapuestos, que son las dos posibles alternativas entre dos situaciones posibles, aquí, sin perdida de la generalidad, tomaremos el conjunto: {0,1} como ya hemos dicho:

\mathfrak{B} = \{0, 1 \}

Donde:

\varnothing = 0

U = 1 \;

La operación unaria interna, que llamaremos negación:

\begin{array}{c|c} a & \bar{a} \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}

\begin{array}{rrcl} \bar{ } : & \mathfrak{B} & \to & \mathfrak{B} \\ & a & \to & b = \bar a \end{array}

La operación unaria interna negación, definimos una aplicación que a cada elemento a de {0,1}, le asigna un b de {0,1}.

\forall a \in \mathfrak{B} \, : \quad \exists ! b \in \mathfrak{B} \; / \quad b = \bar{a}

Para todo elemento a en {0.1}, se cumple que existe un único b en {0,1}, tal que b es la negación de a. Como se ve en la tabla.

La operación binaria interna, que llamaremos suma:

\begin{array}{c|cc} + & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}

\begin{array}{rrcl} + : & \mathfrak{B} \times \mathfrak{B} & \to & \mathfrak{B} \\ & (a,b) & \to & c = a + b \end{array}

Con la operación suma definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

\forall (a,b) \in \mathfrak{B} \times \mathfrak{B} \, : \quad \exists ! c \in \mathfrak{B} \; / \quad c = a + b

Para todo par ordenado (a,b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de sumar a con b.

la operación binaria interna, que llamaremos producto:

\begin{array}{c|cc} \cdot & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}

\begin{array}{rrcl} \cdot : & \mathfrak{B} \times \mathfrak{B} & \to & \mathfrak{B} \\ & (a,b) & \to & c = a \cdot b \end{array}

Con la operación producto definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

\forall (a,b) \in \mathfrak{B} \times \mathfrak{B} \, : \quad \exists ! c \in \mathfrak{B} \; / \quad c = a \cdot b

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto a y b. Como se puede ver en la tabla.

Axiomas

Así (\{0,1\}, \bar{}, +, \cdot) es un álgebra de boole al cumple las siguientes axiomas:

1a: La ley asociativa de la suma:

\forall a, b, c \in \{0,1\} : \; (a + b) + c = a + (b + c)

1b: La ley asociativa del producto:

\forall a, b,c \in \{0,1\} : \; (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

2a: Existencia del elemento neutro para la suma:

\forall a \in \{0,1\} : \; a + 0 = a

2b: Existencia del elemento neutro para el producto:

\forall a \in \{0,1\} : \; a \cdot 1 = a

3a: La ley conmutativa de la suma:

\forall a, b \in \{0,1\} : \; a + b = b + a

3b: La ley conmutativa del producto:

\forall a, b \in \{0,1\} : \; a \cdot b = b \cdot a

4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto:

\forall a, b, c \in \{0,1\} : \; a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c)

4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:

\forall a, b, c \in \{0,1\} : \; a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)

5a: Existe elemento complementario para la suma:

\forall a \in \{0,1\} ; \; \exists \bar{a} \in \{0,1\} : \; a + \bar{a} = 1

5b: Existe elemento complementario para el producto:

\forall a \in \{0,1\} ; \; \exists \bar{a} \in \{0,1\} : \; a \cdot \bar{a} = 0

Luego

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