Arte Matemático

Introducción

Durante este proyecto se mostrará que al arte no está en conflicto con las matemáticas, sino que por el contrario, van de la mano en muchos casos. Observaremos diferentes obras artísticas, tanto en música, como en arquitectura y pintura, y analizaremos un comportamiento matemático en ellas.

A lo largo de la historia diferentes artistas han basado su obra desde un principio matemático, ya sea, por ejemplo, en la pintura, se buscan simetrías para hacer más perfecto el trazo y con ello embellecer la obra, o en la arquitectura, usando particiones de diferentes tamaños para una mejor estabilidad en la construcción.

Nos daremos a la tarea de mostrar diferentes obras y mostrar un comportamiento matemático en ellas, principalmente, series numéricas.

Objetivos

En el siguiente trabajo, se darán los conceptos que se necesitaran posteriormente para presentar una serie de relaciones que hay entre el arte y la matemática. Matemáticas y arte siempre han estado estrechamente relacionados. Las simetrías, las proporciones o la geometría son elementos presentes en el arte. Si observamos un cuadro o una escultura veremos que el artista tiene mucho de matemático. No hay que olvidar que a lo largo de la historia, grandes artistas han sido grandes matemáticos. Iniciaremos con el concepto de sucesiones y series. Concretamente estudiaremos las progresiones aritméticas, geométricas y armónicas y relación con la música.

Sucesiones, series y medias

Sucesión

Es una lista de números tales que pueden encontrarse uno a uno a través de una regla. Cada uno de los números que forma la sucesión se conoce como término de la sucesión.

Por ejemplo, los números: 2, 4, 6, 8, 10, • • • forman una sucesión. Para encontrar el siguiente número sumamos dos al que tenemos por último término. En este caso tenemos la sucesión de los números pares.

También podemos formar la sucesión de los números impares de manera semejante: 1, 3, 5, • • •. Existen muchos tipos de sucesiones. Por ejemplo, la sucesión: 5, 11, 17, 23, 29, etc. podemos calcular el siguiente número sumando 6 al último término.

Serie

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión.

Se representa una serie con términos an como:

∑_(n=1)^N▒an , siendo N es el índice final de la serie.

Por ejemplo, la siguiente serie: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +... corresponde a la serie de números naturales.

Las series a las que se les puede calcular una tendencia se llaman series convergentes, y las otras se llaman divergentes. La serie manejada por Zenón es una serie convergente: se acerca a un valor finito cuando tomamos muchos sumandos. Veamos cómo es esto.

Viendo en detalle la paradoja, las distancias recorridas por la flecha, en los instantes de tiempo marcados por Zenón, son las siguientes. Utilizaremos la notación t1, t2, t3,…, tn… para referirnos a esos instantes de tiempo, Sn = distancia recorrida en los primeros n intervalos.

En t1 (en mitad del recorrido total): S1 = recorrido = 1/2

En t2 (en la mitad del resto): S2 = ½ + ¼ = ¾

En t3 (en la mitad del resto): S3 = ½ + ¼ + 1/8 = 7/8

En t4 : S4 = ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 = 15/16

Y podemos aventurar una fórmula para el n-ésimo paso:

En tn: Sn = 1/2 + ¼ + 1/8 + 1/16 +… + 1/2n = (2n-1)/2n = 1 – 1/2n

Que no es más que la sucesión de números ½, ¾, 7/8, 15/16, 31/ 32,…, (2n – 1)/2n

Efectivamente, vemos aquí una tendencia: lo que falta en el n-ésimo pasó para llegar al número 1 es 1/2n, y así vemos que la suma se acerca a 1. Si lo aplicamos al tiempo recorrido, todo sería cuestión de manejar un factor V = velocidad (suponiendo velocidad constante en la flecha), y el tiempo utilizado en ese recorrido sería V.

Ahora definamos una serie de conceptos que nos son útiles para entender la aplicación de las sucesiones.

Progresión geométrica

Una progresión geométrica es una secuencia en la que el elemento se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.

Así, 5,15 ,45,135,405…. es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque cada elemento es el triple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del término general, siendo an el término en cuestión, a1 el primer término y r, la razón.

Los términos de las progresiones aritméticas los podemos representar de la siguiente forma:

Donde la diferencia común, se suele denotar por la letra d.

Una de las progresiones más sencillas sería la serie triangular.

Números triangulares

Se les llama así porque con la cantidad de objetos que indica uno de ellos se puede crear un triángulo poniendo filas cada vez con un elemento menos

Los primeros números triangulares son: 1, 3, 6, 10, 15,...

Obtenida de la suma de la sucesión

an = 1 + 2 + 3 + . . . + (n − 1) + n = n(n+1)/2

Números cuadrados

Se les llama así porque con la cantidad de objetos que indica uno de ellos se puede crear un cuadrado poniendo filas y columnas cada vez con un elemento más

Los primeros números cuadrados son: 1, 4, 9, 16, 25,...

Obtenida de la suma de la sucesión

an = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 3) + (2n − 1) = n^2

Números pentagonales

Sumando tres a cada término, tenemos la progresión aritmética 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25... y tomando las sumas del mismo modo se obtiene la sucesión {an} = {1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, . . .}

Obtenida de la suma de la sucesión

an =1+4+7+. . . +(3n-2) = (n(3n-1))/2

Caso semejante para los números hexagonales, heptagonales, octogonales, etcétera.

Progresión Armónica

Una sucesión se denomina progresión armónica si los recíprocos de sus términos forman una progresión aritmética, (el nombre de armónicos se debe a los pitagóricos).

En música, una progresión armónica es una sucesión de acordes, explícitos o implícitos. Algunas de las progresiones más comunes son las que se basan en el círculo de quintas, típicas de la música clásica y popular respectivamente.

Media Armónica

La media armónica, denominada H, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.

Así, dados n números x1,x2,….,xnla media armónica será igual a:

H=n/(∑_(i=1)^n▒1/xi)=n/(1/x1+1/x2+..+├ 1/xn)┤

Si tenemos dos números, a y b, para los que queremos comparar su media aritmética y su media geométrica, dibujamos dos segmentos con dichas longitudes. Obtenemos así un segmento de longitud a + b.

Ahora, pinchamos con el compás en el centro del segmento de longitud a + b y dibujamos un círculo, que tendrá de radio (a+b)/2, como, por ejemplo, el radio que hemos pintado en azul en la siguiente figura:

Ahora pintamos, en rojo, un segmento paralelo al radio azul sobre el punto de unión de los segmentos originales, los de longitud a y b, respectivamente, y nos preguntamos cuánto mide ese segmento.

Para calcular la longitud del segmento rojo, no tenemos más que aplicar el famoso Teorema de Pitágoras, (sí, el de las suma de los cuadrados de los catetos que dan como resultado el cuadrado de la hipotenusa), sobre el triángulo sombreado en amarillo…

Y, se tacha, haciendo las cuentas con esos datos, tendrán que la longitud del segmento rojo es, precisamente, √ab, esto es, la media geométrica de a y b. Puesto que la longitud del radio azul era la media aritmética de a y b, se deduce del dibujo que la media geométrica siempre es menor que la aritmética, salvo cuando a=b, en cuyo caso, la media aritmética y la geométrica coinciden.

Platón y las razones musicales

Del Timeo de Platón encontramos lo siguiente:

Después de unir los tres componentes, dividió el conjunto resultante en tantas partes como era conveniente, cada una mezclada de lo mismo y de lo otro y de ser. Comenzó a dividir así:

Primero, extrajo una parte de todo; (1 unidad)

A continuación, sacó una porción el doble de ésta (2 unidades)

Posteriormente tomó la tercera porción, que era una vez y media la segunda y tres veces la primera; (3 unidades)

Y la cuarta, el doble de la segunda, (4 unidades)

Y la quinta, el triple de la tercera, (9 unidades)

Y la sexta, ocho veces la primera, (8 unidades)

Y, finalmente, la séptima, veintisiete veces la primera. (27 unidades)

En el proceso detallado anteriormente obtenemos los enteros {1,2,3,4,8,9,├ 27}┤ y estos contienen el origen de la monada, los primeros pares e impares, junto con sus cuadrados y cubos.

La mónada es la fuente no espacial del número. Se le llama "mónada" por su estabilidad, pues conserva la identidad específica de todo número con

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